Logística/Gestão de armazéns/Configuração de áreas de armazenagem contínuas: diferenças entre revisões
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Neste capítulo, assume-se que o conjunto de locais de armazenagem podem ser representados como uma região plana contínua e por um conjunto de áreas positivas. Existem algumas vantagens em estudar o [[w:Configuração de instalação|''layout'']] em armazenagem contínua. Em primeiro lugar, os resultados da formulação contínua podem fornecer várias perspectivas relativamente aos problemas discretos. Em segundo lugar, muitos problemas de armazenagem envolvem um número tão grande de locais de armazenamento que uma representação contínua é bastante apropriada. Por fim, os problemas contínuos podem ser mais fáceis de resolver do que os problemas discretos ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al.,
== Regiões de armazenagem aleatória ==
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Neste capítulo está-se interessado na construção de conjuntos de nível de uma determinada área para definir as regiões de armazenagem para serem usados num armazém. Uma região de armazenagem definida por um conjunto de nível de uma área A terá uma distância igual ou inferior à distância esperada para qualquer outro conjunto de área igual.
Baseado na utilização de curvas de nível para definir as regiões de armazenagem, o problema em determinar as configurações de armazenagem contínua reduz-se a um problema de geometria.
o ''design'' da região de armazenagem é baseado unicamente no objectivo de minimizar a distância percorrida entre o ponto de armazenagem e a entrada/saída ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p. 295]]).
[[Imagem:Curvas de nível de um armazém existente.JPG|thumb|400px|right|Figura 2: Curvas de nível de um armazém existente]]
=== Um produto=== O ''layout'' de armazém pode ser representado como uma região contínua assim sendo, é necessário estudar o ''layout'' contínuo de um armazém. O projecto de ''layout'' é, em muitos dos casos, destinado a um armazém já existente. Para estudar o ''layout'' contínuo de armazém considere-sa um armazém com as dimensões de 200 A partir das curvas de nível (k) representadas dentro de um armazém existente é possível verificar três diferentes áreas (A) como se pode ver na Figura 2:
*A área representada a amarelo aplica-se a armazéns que não excedam 10 000 <math>ft^2</math>;
*A área representada a laranja aplica-se a armazéns entre os 10 000 <math>ft^2</math> e 20 000 <math>ft^2</math>;
*A área representada a vermelho aplica-se a armazéns entre os 20 000 <math>ft^2</math> e 30 000 <math>ft^2</math>.
A área de armazenagem (A) pode ser expressa em função das curvas de nível (k):
<big><big><math>A =</math></big></big>
a) <big><big><math>k^2</math></big></big>, <math>0 \le k \le 100 </math></big></big>
b) <big><big><math>200k - 10000</math></big></big>, <math>10 \le k \le 150 </math>
c) <big><big><math>30000-(250-k)^2</math></big></big>, <math>150 \le k \le 250 </math>
Como se verifica a área a amarelo, cuja curva de nível tem forma triangular, tem base 2k, altura k e área <math>k^2</math>. Os valores de k variam entre 0 a 100 <math>ft</math> e a área entre 0 a 10 000 <math>ft^2</math>.
Na área a laranja,o ponto onde a linha intersecta a parede superior do armazém, a distância da curva de nível ao ponto de entrada/saída é a soma de 100 <math>ft</math> percorridos paralelamente ao eixo dos y's e (k - 100) <math>ft</math> percorridos paralelamente ao eixo dos x's. A curva de nível varia entre os 100 e 150 <math>ft</math> e a área de armazenagem varia de 10 000 a 20 000 <math>ft^2</math>. A forma geométrica da curva de nível pode ser representada pela união de um rectângulo de dimensões 200 <math>ft</math> × (k - 100) <math>ft</math> com um triângulo de 200 <math>ft</math> × 100 <math>ft</math>. Assim, a área limitada pelas curvas de nível é 200 k - 30 000.
Na área a vermelho, a área limitada pela curva de nível pode ser obtida subtraindo a área exterior à curva de nível por a área total do armazém. Cada canto do armazém fora da curva de nível tem uma forma triangular de dimensões (250 - k) × (250 - k) assim, a área é igual à área do armazém (30 000) menos a soma das áreas dos dois cantos((250 - k)^2). Os valores de k variam entre 150 a 250 <math>ft</math> e a área entre 20 000 a 30 000 <math>ft^2</math>.
[[Imagem:Área de armazenagem de 18 000 ft^2.JPG|thumb|400px|right|Figura 3: Área de armazenagem de 18 000 <math>ft^2</math>]]
Resolvendo a função da área de armazenagem (A = 200 k - 30 000) em ordem a k, ao substituir A por 18 000 fica k igual a 140 <math>ft</math> como é possível verificar através da Figura 3.
[[Imagem:Área de armazenagem de 27 500 ft^2.JPG|thumb|400px|right|Figura 4: Área de armazenagem de 27 500 <math>ft^2</math>]]
Resolvendo agora a função da área de armazenagem (A = 30 000 - (250 - <math>k^2</math>)) em ordem a k, ao substituir A por 27 500 fica k igual a 200 <math>ft</math> como se verifica na Figura 4.
[[Imagem:Áreas de armazenagem de produtos com uma única porta.JPG|thumb|400px|right|Figura 5: Áreas de armazenagem de produtos com uma única porta]]
=== Dois produtos ===
Considere-se dois produtos, produto 1 e produto 2, cujas necessidades de espaço e movimentações são respectivamente,
<big><big><math>S_1 = 2500 ft^2</math></big></big>, <big><big><<math>S_2 = 2400 ft^2</math></big></big> e <big><big><math>T_1 = 100</math></big></big>, <big><big><math>T_2 = 50 </math></big></big> por dia.
Sabendo que os produtos que apresentam um rácio de recepção/expedição elevado devem estar localizados próximos do ponto de entrada, então fazendo
<big><big><math>T_1 / S_1 = 0,04 </math></big></big> e <big><big><math>T_2 / S_2 = 0,021 </math></big></big> como <big><big><math>(T_1 / S_1) > (T_2 / S_2)</math></big></big> logo, o produto 1 é colocado no layout em primeiro lugar.
Para delimitar a zona ocupada pelo produto 1 é necessário construir uma curva de nível que delimite a área de <math>2500 ft^2 </math> e outra que delimite a área ocupada pelo produto 2 de <math>2400 ft^2</math>.
Existe uma única porta, localizada ao longo do eixo y's e a região de armazenagem deve ocupar apenas o primeiro e o quarto quadrantes. Então, uma região de armazenagem triangular com <math>100 ft </math> de base e <math>50 ft </math> de altura é destinada ao produto 1, sendo a região de armazenagem triangular com <math>140 ft </math> de base e <math>70 ft </math> de altura destinada à soma das duas áreas de armazenagem (produto 1 e 2), cuja área é de <math>4 900 ft^2</math>, como é possível verificar através da Figura 6.
[[Imagem:Layout de armazenagem contínua.JPG|thumb|400px|right|Figura 7: Layout de armazenagem contínua]]
=== Cálculo da distância média percorrida ===
==== Armazém com uma porta ====
===== Um produto =====
Considerando locais de armazenagem discreta, a distância média percorrida na zona de armazenagem é a soma das distâncias médias de cada produto.
A distância pode ser determinada somando as distâncias percorridas para todos os locais de armazenagem, dividindo pelo número de locais destinados a esse produto e multiplicando o resultado anterior pelo número médio de movimentações efectuadas pelo produto, em período de tempo.
No caso da armazenagem contínua, a distância média pode ser obtida integrando a região de armazenagem e multiplicando o resultado pela razão entre o número de movimentações e o espaço destinado ao produto, ou então, estabelecendo uma relação entre a área da linha de curva. Considerando que existe uma única porta, que a região de armazenagem está no primeiro e quarto quadrantes e que as movimentações são rectilíneas, é possível verificar através da Figura 7 o ''layout'' de armazenagem contínua.
Considerando k, a área envolvida (A) é igual a <math>k^2</math>. Logo,
<big><big><math> A = k^2 = q (k) </math></big></big>
<big><big><math> k = A^{1/2} = r (A)</math></big></big>
onde q (k) é a relação entre A e k e r (A) é a função inversa que relaciona k com A. Assim a função inversa de r (t) é dada por:
<big><big><math> A = q (r (t)) </math></big></big>
Sendo <math>q (k) = k^2</math> então,
<math> A = r (A)^2 \Leftrightarrow r (A) = A^{1/2} </math>
Sendo a área da figura 7 de 152 000 <math>ft^2</math> ao aplicar a equação <math> k =A^{1/2} = r (A)</math>, é possível determinar o valor mínimo de k igualando A a zero (<math> k=0 ft</math>) e o valor máximo igualando k a 152 000 <math>ft^2</math> (<math> k=389,8717 ft</math>).
A distância média percorrida é calculada pela seguinte expressão:
<math> E \left [ R \right ] </math> = <math> \int_{R} {T \over A} f (x)\, dx </math> = <math>{T \over A}</math> <math> \int_{r(0)}^{r(A)} q'(k)\, dk </math>
Onde E[R] é a distância média percorrida na região de armazenagem R, T é o número de movimentações, <math>f (X)</math> é a distância média por viagem.
Sendo a função distribuição para a distância percorrida dada por <math>q (k) / A</math>, a função densidade é dada por <math>q' (k) / A</math> para r (0) ≤ k ≤ r (A).
Considerando a equação anterior no cálculo da distância média percorrida, aplicada ao exemplo da Figura 7 temos:
<math> E \left [ R \right ] </math> = <math> {T \over A} \int_{0}^{A^{1/2}} (2k)k\, dk</math> = <math> {2T \over 3} A^{1/2}</math>
Logo, para a movimentação de uma unidade por minuto e uma área de 152 000 <math> ft^2</math>, <math> E[R] = 259,9145 ft/min</math>.
===== Dois produtos =====
Considerando o exemplo da Figura 6, a distância média percorrida para um único produto é dada por:
<math> E \left [ R_1,R_2 \right ] </math> = <math> {T_1 \over A_1} \int_{r(0)}^{r(A_1)} (2k)k\, dk</math> + <math> {T_2 \over A_2} \int_{r(A_1)}^{ r(A_1+A_2)} (2k)k\, dk</math>
O produto 2 varia em valor desde o máximo do produto 1 até ao valor das áreas conjuntas dos dois produtos. Assim:
<math> E \left [ R_1,R_2 \right ] </math> = <math> {100 \over 2500} \int_{0}^{2500^{1/2}} (2k)k\, dk</math> + <math> {50 \over 2400} \int_{2500^{1/2}}^{ 4900^{1/2}} (2k)k\, dk = 6361,11 ft </math>
[[Imagem:Região de armazenagem contínua com duas portas.JPG|thumb|400px|right|Figura 8: Região de armazenagem contínua com duas portas]]
==== Armazém com duas portas do mesmo lado ====
===== Um produto =====
Considere-se um armazém com duas portas (P1 e P2), localizadas ao longo do eixo dos y's e separadas por uma distância c, com uma área de armazenagem (A), cuja região de armazenagem se localiza no primeiro e quarto quadrantes e tendo em conta uma movimentação rectilínea.
Sendo r a distância rectilínea da intersecção da curva de nível com o eixo dos y's à porta mais próxima, a área é dada por [[#refFrancis1974|(Francis et al., 1974, p. 299)]]:
<big><big><math> A = r (c + r) </math></big></big>
A linha de contorno é um trapézio cuja área é dada por:
<big><big><math> A = h(a + b) / 2 </math></big></big>
onde a é o comprimento da base menor, b o comprimento da base maior e h a altura do trapézio. Assim, a área limitada pode ser expressa por:
<big><big><math> A = r((c + 2)(r + c)) / 2 = r (c + r) </math></big></big>
Resolvendo em ordem a r tem-se:
<big><big><math> r = 0,5 [(4 A + c^2)^{1/2} - c] </math></big></big>
atribuindo a cada porta um peso de 0,5 fica:
<big><big><math> k = 0,5 r + 0,5 (r + c ) </math></big></big>
ou
<big><big><math> r = k - 0,5 c </math></big></big>
Substituindo em <math> A = r (c + r) </math> por:
<big><big><math> r = k - 0,5 c </math></big></big>
obtém-se:
<big><big><math> A = (k - 0,5 c)(k + 0,5 c) </math></big></big>
ou
<big><big><math> A = k^2 - 0,25 c^2 = q (k) </math></big></big>
e resolvendo k em função de A tem-se que:
<big><big><math> k = (A + 0,25 c^2)^{1/2} = r (A) </math></big></big>
e
<big><big><math> r (0) = 0,5 c </math></big></big>
Assim sendo a distância média percorrida é dada por:
<math> E \left [ R \right ] </math> = <math> {T \over A} \int_{0,5c}^{(A+0,25c^2){1/2}} (2k)k\, dk</math> = <math> {2T \over A} \int_{0,5c }^{ (A+0,25c^2){1/2}} k^2\, dk </math> =
= <math> {2T \over 3A} \left [(\sqrt{A + 0,25c^2})^{3} - (0,5c)^3 \right ]</math>
= <math> {T \over 12A} \left [ 8(A + 0,25c^2)^{3/2}-8(0,5c)^3 \right ]</math>
= <math> {T \over 12A} \left [ (4A + c^2)^{3/2}-c^3 \right ]</math>
Supondo que a área de armazenagem (A) é de <math> 10 000 ft^2</math>, que as portas estão separadas por uma distância (c) de <math> 20 ft </math>
e são feitas 100 operações de entrada / saída por hora (T). Então,
<big><big><math> E [R] = 6 760,25 ft/hora</math></big></big>.
===== Dois produtos =====
Considerando o exemplo anterior, mas agora com várias classes de produtos. Tem-se para o produto j onde, <big><big><math>B_j = A_1 + ... + A_j</math></big></big>:
<math> q (k_j) = k_j^2 - 0,25 c^2</math>
<big><big><math> r (B_j) = (B_j + 0,25 c^2)^{1/2} </math></big></big>
Para três classes de produtos, a distância média percorrida é dada por:
<math> E \left [ R_1,R_2,R_3 \right ] </math> =
<math>{2 \over 3} \left \{ {T_1 \over A_1} \left [(B_1 + 0,25c^2)^{3/2}-(0,25c^2)^{3/2} \right ]+{T_2 \over A_2} \left [ (B_2 + 0,25c^2)^{3/2}-(B_2 + 0,25c^2)^{3/2} \right ]+{T_3 \over A_3}\left [(B_3 + 0,25c^2)^{3/2}-(B_3 + 0,25c^2)^{3/2} \right ] \right \}</math>
Para um espaço total necessário de <math> 10 000 ft^2 </math> e efectuando 100 movimentações por hora:
*os produtos da classe I representam 75% das movimentações e 15% das necessidades de espaço;
*os produtos da classe II representam 20% das movimentações e 35% do espaço de armazenagem;
*os produtos da classe III representam 5% das movimentações e 50% do espaço.
As razões entre as movimentações e os espaços para as três classes de produtos considerando T1 = 75, A1 = 1 500, T2 = 20, A2 = 3 500, T3 = 5 e A3 = 5 000 são respectivamente de 0,05; 0,0057 e 0,001.
Com <math> c = 20 ft </math>, a distância média percorrida para as três classes é de <math>3 677,49 ft/hora </math>.
Para se estabelecer um limite superior para o espaço necessário em [[armazenagem aleatória]] resultar na mesma distância média percorrida em [[armazenagem dedicada]] das três classes de produtos calcula-se a distância média percorrida para uma classe de produtos de área desconhecida e iguala-se à distância média percorrida pelas três classes de produtos.
Assim sendo, para c = 20 <math> ft</math> e T = 100 por hora tem-se que:
<math> E \left [ R \right ] </math> = <math>{100 \left [(4A_{rs} + 20^2)^{1/2}-20^{3} \right ]\over 12A_{rs}} = 3 677,49 ft/hr</math>
Resolvendo em ordem a <math>A_{rs}</math> temos <math>2 771,86 ft^2</math>.
Assim sendo, com base nos resultados obtidos é possível verificar que o espaço necessário para a armazenagem aleatória não pode exceder 27,72% da área do sistema de armazenagem dedicada.
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