Utilizador anónimo
Métodos numéricos/Sistemas de equações lineares (editar)
Revisão das 08h00min de 4 de agosto de 2010
, 4 de agosto de 2010→Métodos iterativos
| [edição não verificada] | [edição não verificada] |
Linha 40:
==== Pesquisa de Pivot ====
Os métodos iterativos distinguem-se dos métodos directos pelo facto de necessitarem de um número infinito de operações aritméticas para obter a solução.
=== Método de Jacobi ===▼
Como na realidade isto não é possível, os métodos iterativos estão condenados a terem de ser interrompidos, o que implica que poderão fornecer apenas uma solução aproximada para o sistema. No entanto os métodos iterativos são valiosos porque podem produzir boas aproximações com relativamente poucas iterações. Também é relevante o facto de a matriz A nunca ser alterada durante o processo iterativo (ao contrário do que acontece com os métodos directos).
=== Método de Gauss-Seidel ===▼
Assim sendo tira-se partido desta estrutura para economizar memória e tempo de cálculo.
O método de Jacobi consiste em escolher ma matriz M a diagonal de A, ou seja M = D = diag A e N = D - A = - (L + U) em que L e U designam matrizes estritamente triangulares inferior e superior respectivamente (nota: é importante não confundir estas matrizes com as matrizes L e U da factorização triangular).
Nesta decomposição supomos que D é uma matriz invertível, o que implica que os seus elementos diagonais sejam todos diferentes de zero. Se tal não acontecer, é possível colocar na diagonal elementos diferentes de zero por permutação de linhas e/ou colunas (designando-se a matriz resultante destas trocas por A.
A matriz de iteração do método de Jacobi é dada por GJ = I – D-1 (L+U).
É relativamente fácil nos métodos iterativos tirar partido da espansidade da matriz A
Neste método utilizam-se os valore xi(k) da iteração anterior para obter os valores xi(k+1) da iteração seguinte.
Como foi anteriormente referido, no método de Jacobi são utilizados os valores xi(k) da iteração precedente para obter os valores xi(k+1) da iteração seguinte. No entanto, no momento em que se calcula xi(k+1) já são conhecidos valores “mais actuais” para x1(k+1),..., xi-1(k+1).
O método de Gauss-Seidel adopta imediatamente estes valores, ou seja, logo a partir do momento em que é obtido um valor mais actualizado de uma incógnita xi, este é usado sem ser necessário esperar pela actualização dos outros valores.
No método de Gauss-Seidel a matriz M, conforme se pode verificar, é identificado com o triângulo inferior da matriz A, ou seja M = L+D; V = -U.
É de referir que tanto o método de Gauss-Seidel como o método de Jacobi convergem quando as matrizes possuem diagonal estritamente dominante por linhas.
== Métodos interativos com relaxação ==
| |||