Mecânica dos fluidos/Equações de Navier-Stokes: diferenças entre revisões
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Linha 31:
Desenvolvendo, teremos um
<center><math>\left( \frac{\partial}{\partial x} \left( - \; p \;-\; \frac{2}{3} \mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) \;+\; 2 \mu \frac{\partial v_x}{\partial x} \right) \;+\; \frac{\partial}{\partial y} \left( \mu \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; \mu \frac{\partial v_y}{\partial x} \right) \;+\; \frac{\partial}{\partial z} \left( \mu \frac{\partial
<center><math> \;=\; \rho \left( v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>
Na direção do eixo Y, teremos
<center><math>\left( \frac{\partial}{\partial y} \left( - \; p \;-\; \frac{2}{3} \mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) \;+\; 2 \mu \frac{\partial v_y}{\partial y} \right) \;+\; \frac{\partial}{\partial x} \left( \mu \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; \mu \frac{\partial v_y}{\partial x} \right) \;+\; \frac{\partial}{\partial z} \left( \mu \frac{\partial v_z}{\partial y} \;+\; \mu \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) \right) \;=\; </math></center>
<center><math> \;=\; \rho \left( v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_y}{\partial t} \right)</math></center>
E, na direção do eixo Z, teremos
<center><math>\left( \frac{\partial}{\partial z} \left( - \; p \;-\; \frac{2}{3} \mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) \;+\; 2 \mu \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) \;+\; \frac{\partial}{\partial x} \left( \mu \frac{\partial v_x}{\partial z} \;+\; \mu \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) \;+\; \frac{\partial}{\partial y} \left( \mu \frac{\partial v_z}{\partial y} \;+\; \mu \frac{\partial v_y}{\partial z} \right) \right) \;-\; \rho g \;=\; </math></center>
<center><math> \;=\; \rho \left( v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial t} \right)</math></center>
Essas três equações, mais a equação de continuidade, formam um sistema de quatro equações diferenciais parciais não-lineares acopladas, cuja solução é possível apenas em casos especiais. Exemplos de casos especiais são aqueles onde o fluido é um líquido ideal e a geometria do problema é muito simples.
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