Mecânica dos fluidos/Equações básicas para o líquido Newtoniano: diferenças entre revisões
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Linha 33:
<center><math>\left( \frac{\partial}{\partial x} \left( - \; p \;-\; \frac{2}{3} \mu \left( \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial z} \right) \;+\; 2 \mu \frac{\partial v_x}{\partial x} \right) \;+\; \frac{\partial}{\partial y} \left( \mu \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; \mu \frac{\partial v_y}{\partial x} \right) \;+\; \frac{\partial}{\partial z} \left( \mu \frac{\partial
Linha 51:
derivadas do princípio de conservação do momento linear, descrevem a dinâmica de um volume diferencial de fluido, juntamente com a equação de continuidade, mas são extremamente difíceis de resolver. No caso de um líquido Newtoniano, considerando-se a viscosidade constante e lançando mão da
<center><math>\frac{\partial v_z}{\partial z} \;
e da igualdade
derivada da equação de continuidade, a equação de Navier-Stokes referente ao eixo X se reduz a▼
<center><math>
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial x} \;+\; \mu_0 \left( \;-\; \frac{2}{3} \left( \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial x \partial y} \;-\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x^2} \;-\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial x \partial y}\right) \;+\; 2 \; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial y \partial x} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial z ^2} \;-\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x \partial y} \;-\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial y ^2} \right) \;=\; </math></center>▼
<center><math>\frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial v_z}{\partial x} \right) \;=\; \frac{\partial}{\partial x} \left( \;-\; \frac{\partial v_y}{\partial y} \;-\; \frac{\partial v_x}{\partial x} \right) \;=\; \;-\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial x \partial y} \;-\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x ^2}</math></center>
▲<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial x} \;+\; \mu_0 \left( \;-\; \frac{2}{3} \
<center><math> \;=\; \rho_0 \left( v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>
ou
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial x} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;=\; \rho_0 \left( v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>
Similarmente, para os outros eixos
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial y} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_y}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial z ^2} \right) \;=\; \rho_0 \left( v_y \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>
<center><math>\rho_0 g \;-\; \; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_z}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial z ^2} \right) \;=\; \rho_0 \left( v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial t} \right)</math></center>
▲<center><math> \;=\; \rho \left( v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_z}{\partial t} \right)</math></center>
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