Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido Newtoniano: diferenças entre revisões
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Linha 1:
O fluxo laminar é caracterizado pela sua espessura h<sub>0</sub>. Em algumas situações onde a geometria do problema é simples, existe uma solução analítica para as equações de Navier-Stokes.
== Fluxo livre em um plano inclinado ==
A expressão ''fluxo livre'' significa que a única ação externa a que o fluido está sujeito é aquela deviada ao seu próprio peso. A melhor escolha do eixo X é na direção do fluxo, ou seja, paralelo ao plano, com o eixo Z perpendicular a este e apontando para baixo. O eixo Y, em consequência, ficará também paralelo ao plano. Considerando-se um plano de inclinação Θ, esse peso terá componentes no eixo X e no eixo Z, mas não no eixo Y; chamemos g<sub>x</sub> e g<sub>z</sub> essas componentes. A hipótese de fluxo laminar implica, obviamente, em v<sub>z</sub> = v<sub>y</sub> = 0. Além disso, o regime estacionário implica que, para uma propriedade η qualquer,
Linha 24:
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial x} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;
<center><math>- \; 0 \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;
Linha 42:
<center><math>\;-\; \; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_z}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_z}{\partial z ^2} \right) \;
<center><math>\;-\; \; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;
Linha 51:
<center><math>\mu_0 \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \;=\; - \; \rho_0 g \sin \theta \Rightarrow \;\;\; v_x \;=\; - \; \frac{\rho_0 g \sin \theta}{2 \mu_0} \; z^2 \;+\; k_1 \; z \;+\; k_2</math></center>
Mas não pode haver fluxo em z = 0 (adjacente ao plano), nem tensões em z = - h<sub>0</sub> (superfície do fluido), portanto
Linha 60:
<center><math>\frac{\partial v_x}{\partial z} (-h_0) \;=\; 0 \Rightarrow \;\;\; \frac{\rho_0 g \sin \theta}{\mu_0} \; h_0 \;+\; k_1 \;=\; 0</math></center>
Portanto
Quanto à segunda equação▼
<center><math>
A equação que descreve o campo de tensões é, então, a seguinte
<center><math>\tau_{zx} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_x}{\partial z} \;=\; -\; \rho_0 g \sin \theta \left( z \;+\; h_0 \right)</math></center>
A tensão nos pontos ajdacentes ao plano inclinado será
<center><math>\tau_{zx}(0) \;=\; -\; \rho_0 g \sin \theta \left( 0 \;+\; h_0 \right) \;=\; -\; \rho_0 g h_0 \sin \theta</math></center>
o valor negativo indicando que ela aponta na direção negativa do eixo X, ou seja, é contrária ao fluxo. A vazão volumétrica será
<center><math>\Phi \;=\; \int_{Ax} v_x \; dz \; dy \;=\; W \int_{-h0}^0 - \frac{\rho_0 g \sin \theta}{\mu_0} \left( \frac{z^2}{2} \;+\; h_0z \right) dz</math></center>
onde W é a largura do plano. Assim,
<center><math>\Phi \;=\; \frac{\rho_0 g W \sin \theta}{\mu_0} \int_{-h0}^0 - \left( \frac{z^2}{2} \;+\; h_0z \right) dz \;=\; \frac{\rho_0 g W \sin \theta}{\mu_0} \left. \left( \frac{z^3}{6} \;+\; \frac{h_0z^2}{2} \right) \right|_0^{-h0}</math></center>
<center><math>\Phi \;=\; \frac{\rho_0 g W \sin \theta}{\mu_0}\left( -\; \frac{h_0^3}{6} \;+\; \frac{h_0^3}{2} \right) \;=\; \frac{\rho_0 g W h_0^3 \sin \theta}{3 \mu_0}</math></center>
Podemos calcular também a velocidade média
<center><math>\bar v_x \;=\; \frac{\Phi}{A_x} \;=\; \frac{\frac{\rho_0 g W h_0^3 \sin \theta}{3 \mu_0}}{Wh_0} \;=\; \frac{\rho_0 g h_0^2 \sin \theta}{3 \mu_0}</math></center>
▲Quanto à segunda equação
<center><math>\frac{\partial p}{\partial z} \;=\; \rho_0 g \cos \theta</math></center>
Ela nos fornece informação a respeito do campo de pressões, informação esta que coincide com aquela derivável da análise estática.
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