Mecânica dos fluidos/Equações básicas para o líquido ideal: diferenças entre revisões
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=== Equações de Euler em coordenadas cilíndricas ===
As equações de Euler em coordenadas cilíndricas podem ser obtidas a partir da forma concisa, substituindo-se a
Linha 84:
<center><math>\rho g_z \;-\; \frac{\partial p}{\partial z} \;=\; \rho \left( \frac{\partial v_z}{\partial t} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_z}{\partial r} \;+\; \frac{v_{\theta}}{r} \; \frac{\partial v_z}{\partial \theta} \;+\; v_z \; \frac{\partial v_z}{\partial z} \right)</math></center>
=== Equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente ===
As equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente podem ser obtidas a partir da forma concisa tomando-se um elemento de volume infinitesimal δV e aplicando-se o princípio de conservação do momento linear na direção do fluxo, após considerar ρ constante e μ = 0. Seja o fluxo normal ao eixo Y e Θ, o ângulo que a linha de corrente faz com a horizontal nesse ponto. A pressão p<sub>l-</sub> na face posterior do volume será
<center><math>p_{l-} \;=\; p \;-\; \frac{\delta p_l}{2} \;=\; p \;-\; \frac{\frac{\partial p}{\partial l} \; \delta l}{2}</math></center>
onde p é a pressão no centro do volume. A pressão na face anterior do volume, similarmente, será
<center><math>p_{l+} \;=\; p \;+\; \frac{\delta p_l}{2} \;=\; p \;+\; \frac{\frac{\partial p}{\partial l} \; \delta l}{2}</math></center>
e a diferença entre as pressões será, evidentemente
<center><math>\Delta p_l \;=\; p_{l+} \;-\; p_{l-} \;=\; \frac{\partial p}{\partial l} \; \delta l</math></center>
pressão esta cujo sentido é contrário ao fluxo. O peso do volume terá uma componente na direção do fluxo igual a δm · g · sen Θ, também no sentido contrário a ele. Assim, podemos escrever
<center><math>- \; \delta m \; g \; \sin \theta \;-\; \frac{\partial p}{\partial l} \; \delta l \; dA_l \;=\; \delta m \; a_l</math></center>
onde A<sub>l</sub> é a área transversal ao fluxo e a<sub>l</sub> é a aceleração do volume. Desenvolvendo, teremos
<center><math>- \; \rho \; dl \; dn \; dy \; g \; \frac{\partial z}{\partial l} \;-\; \frac{\partial p}{\partial l} \; \delta l \; dn \; dy \;=\; \rho \; dl \; dn \; dy \; a_l \Rightarrow \;\;\; \rho a_l \;=\; - \; \frac{\partial p}{\partial l} \;-\; \rho g \frac{\partial z}{\partial l}</math></center>
Mas
<center><math>a_l \;=\; \frac{Dv}{Dt} \;=\; \frac{\partial v}{\partial t} \;+\; v \frac{\partial v}{\partial l}</math></center>
Assim
<center><math>\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} \;+\; v \frac{\partial v}{\partial l} \right) \;=\; - \; \frac{\partial p}{\partial l} \;-\; \rho g \frac{\partial z}{\partial l}</math></center>
No caso de fluxo em regime permanente
<center><math>\rho v \frac{\partial v}{\partial l} \;=\; - \; \frac{\partial p}{\partial l} \;-\; \rho g \frac{\partial z}{\partial l}</math></center>
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