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Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>.
 
a)===Mostrar que <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) </math>===
 
Afirmação: <math> f(y)=\inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(y) \le f(x), \forall \; x \in D_1</math> e <math> f(z)=\inf_{x \in D_2}f(x) \Rightarrow f(z) \le f(x), \forall \; x \in D_2</math>
Prova1: Tome <math> t \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow t \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(t), \forall \; t \in D_2 \Rightarrow f(y) \le f(z) </math>.
 
Prova2: Suponha por contradição que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(z) < f(y)</math>. Mas <math> z \lein D_2 \subset D_1 \Rightarrow z \in D_1 \Rightarrow f(xy), \forallle f(z) </math>. Logo <math> f(z) < f(y) \;le f(z) </math>. Contradição! A contradição foi supor que <math> \inf_{x \in D_1D_2}f(x) < \Rightarrowinf_{x \in D_1}f(x) </math>.
 
Portanto, <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) </math>
<math> \Rightarrow f(z) < f(x), \forall \; x \in D_1 </math>. Mas <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow z \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(z) </math>. Logo <math> f(z) < f(y) \le f(z) </math>. Contradição! (está quase pronta a demonstração)
 
==Exemplo 2==
Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>. Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 </math> e <math> \bar{x} \in D_2</math>
 
=== Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math> ===
 
==== Fórmulas ====
<nowiki>
<math> </math>
\| \|
\bar{}
\mathbb{}
{ \over }
\Rightarrow
\Leftarrow
\Leftrightarrow
\mapsto
</nowiki>
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