Otimização/Existência de soluções globais: diferenças entre revisões
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== Teorema de [[w:Weierstrass | Weierstrass]] ==
Seja <math> f : D \mapsto \mathbb{R} </math> contínua em D compacto.
=== Então <math> M(f,D) \not = \empty </math> ===
Suponha que f é ilimitada inferiormente, então <math> \forall \; k \in \mathbb{N}, \exist \; x^k \in D; f(x^k)<-k \Rightarrow \lim_{k \mapsto \infty}f(x^k)=-\infty </math>. Por outro lado, D é compacto e <math> \{ x^k\} \subset D </math>. Como D é limitado, logo a <math> \{ x^k\} \; </math> é limitada. [[Análise_real/Sequências#Toda_sequência_limitada_possui_uma_subsequência_convergente | Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente]]. Assim <math> \{ x^k\} \;</math> possui uma subsequência convergênte <math> \{ x^{k_j}\} \;</math>, tal que <math> \; lim_{j \mapsto \infty}x^{k_j} = \bar{x} </math>. Assim <math> f(lim_{j \mapsto \infty}x^{k_j}) = f(\bar{x}) </math>
==== Fórmulas ====
\| \|▼
<nowiki>
<math> </math>
\bar{}▼
\mathbb{}
{ \over }▼
\Rightarrow
\mapsto▼
▲\| \|
▲\bar{}
▲{ \over }
\Leftarrow
\Leftrightarrow
▲\mapsto
</nowiki>
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