Otimização/Existência de soluções globais: diferenças entre revisões

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{{Definição
| <math> M(f,D) \; </math> é o conjuntos dos minimizadores de f em D, locais e globais.
}}
 
{{Definição
| Dizer que <math> M(f,D)=1 \; </math> significa que o conjuntos dos minimizadores de f em D possui apenas uma solução global.
}}
 
{{Definição
|Seja <math> \bar{v} \in \; ]-\infty, \infty [; \bar{v} = \inf_{x \in D}f(x) \Rightarrow \bar{v} \in M(f,D) </math>, onde <math> \bar{v} \; </math> é chamado valor ótimo do problema e é um mínimo global.
}}
 
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=== Então <math> M(f,D) \not = \empty </math> ===
Suponha que f é ilimitada inferiormente, então <math> \forall \; k \in \mathbb{N}, \exist \; x^k \in D; f(x^k)<-k \Rightarrow \lim_{k \mapsto \infty}f(x^k)=-\infty </math>. Por outro lado, D é compacto e <math> \{ x^k\} \subset D </math>. Como D é limitado, logo a <math> \{ x^k\} \; </math> é limitada. [[Análise_real/Sequências#Toda_sequência_limitada_possui_uma_subsequência_convergente | Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente]]. Assim <math> \{ x^k\} \;</math> possui uma subsequência convergênte <math> \{ x^{k_j}\} \;</math>, tal que <math> \; \lim_{j \mapsto \infty}x^{k_j} = \bar{x} </math>. Assim <math> f(\bar{x}) = f(\lim_{j \mapsto \infty}x^{k_j}) = f(- \barinfty </math>. Pela definição de ínfimo, dado <math> k \in \mathbb{xN}) \exists x^k \in D </math> tal que