Otimização/Existência de soluções globais: diferenças entre revisões

Tome <math> y \in \mathbb{R}^n e f_y:D \rightarrow \mathbb{R}; x \mapsto f_y(x)=\|x-y\| </math>. É facil ver que [[Análise_real/Os_números_reais#Prova_3 | <math> |\|x\|-\|y\|| \le \|x-y\| </math>]]. Agora dado <math> \epsilon > 0, \exists \; \delta = \epsilon, \|x-y\| < \delta \Rightarrow |\|x\|-\|y\|| < \epsilon</math>. Assim <math> f_y \; </math> é [[Análise_real/Continuidade | contínua]].

Por outro lado, <math> L_{f_y, D}(c)= \{ x \in D / f_y(x)\le c \}= \{ x \in D / \|x-y\|\le c \} = D \cap B_c(y) </math>. Visto que <math> D , B_c(y) \; </math> são fechados, temos que <math> D \cap B_c(y) </math> é também fechado. Além disso, sendo <math> B_c(y) </math> limitado, segue que <math> D \cap B_c(y) \subset B_c(y) </math> é também limitado e conseqüentemente compacto. Como <math> L_{f_y, D}(c) = D \cap B_c(y) \Rightarrow L_{f_y, D}(c) </math> é compacto.

Vimos que <math> f_y \; </math> é [[Análise_real/Continuidade | contínua]] e <math> L_{f_y, D}(c) </math> é compacto.. Tomando-se <math> c \in \mathbb{R} </math> suficientemente grande, de tal forma que <math> L_{f_y, D}(c) \capnot B_c= \empty </math>. Pelo corolário da curva de nível, [[Otimização/Existência_de_soluções_globais | <math> M(yf_y,D)\; </math>]] <math> \not = \empty </math>.

====Atalhos Exemplo ====