Mecânica dos fluidos/Análise dimensional: diferenças entre revisões
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Como exemplo, suponhamos que queremos encontrar uma fórmula para expressar a distância percorrida por um corpo em queda livre a partir do repouso. Intuitivamente, sabemos que ela dependerá da aceleração gravitacional, da massa do corpo e do tempo decorrido. Escrevemos então l = f(m,g,t) e supomos f = k·m<sup>a</sup>·g<sup>b</sup>t<sup>c</sup>, onde k é uma constante adimensional; essa é a forma mais simples de equação possível. O problema consiste, então, em encontrar os valores de a, b e c, constantes inteiras. Escrevemos então a equação dimensional L = D(l) = D(f) = D(k·m<sup>a</sup>·g<sup>b</sup>t<sup>c</sup>) = M<sup>a</sup>[Lt<sup>-2</sup>]<sup>b</sup>t<sup>c</sup> = M<sup>a</sup>L<sup>b</sup>t<sup>c-2b</sup>, o que resulta em a = 0, b = 1 e c - 2b = 0 ⇒ c = 2. Assim, l = kgt<sup>2</sup>, o que indica que nossa expectativa inicial de a massa do corpo influir no resultado era incorreta, mas não nos impediu de chegar à resposta correta.
A constante adimensional k precisa ser obtida experimentalmente. Neste caso, k = 0.5. Frequentemente é impossível encontrar o valor dessa constante, o que indica que a função f considerada inicialmente precisa ser reformulada. Suponhamos, por exemplo, que o corpo possuía uma velocidade inicial v. Para encontrar a influência dessa grandeza no resultado, aplicamos novamente a técnica, escrevendo l = f(m,g,t,v), supomos f = k·m<sup>a</sup>·g<sup>b</sup>t<sup>c</sup>v<sup>d</sup>,o que resulta em L = D(l) = D(f) = D(k·m<sup>a</sup>·g<sup>b</sup>t<sup>c</sup>v<sup>d</sup>) = M<sup>a</sup>[Lt<sup>-2</sup>]<sup>b</sup>t<sup>c</sup>[Lt<sup>-1</sup>]<sup>d</sup> = M<sup>a</sup>L<sup>b-d</sup>t<sup>c-2b-d</sup>, o que resulta em a = 0, b - d = 1 e c - 2b - d = 0. Esse sistema possui uma infinidade de soluções: uma delas é b = 2, d = 1 e c = 5, o que resultaria em l = kg<sup>2</sup>t<sup>5</sup>v. A experiência mostrará que em nenhum caso será possível encontrar um valor para k que se ajuste aos resultados práticos. A função f teria que ser alterada para f = k<sub>1</sub>·m<sup>a</sup>·g<sup>b</sup>t<sup>c</sup>v<sup>d</sup> + k<sub>2</sub>·m<sup>e</sup>·g<sup>f</sup>t<sup>g</sup>v<sup>h</sup>, e então, após algumas tentativas, o resultado correto seria alcançado.▼
=== Exemplo de aplicação da análise dimensional para simplificar um procedimento experimental ===
▲Suponhamos, por exemplo, que o corpo possuía uma velocidade inicial v. Para encontrar a influência dessa grandeza no resultado, aplicamos novamente a técnica, escrevendo l = f(m,g,t,v), supomos f = k·m<sup>a</sup>·g<sup>b</sup>t<sup>c</sup>v<sup>d</sup>,o que resulta em L = D(l) = D(f) = D(k·m<sup>a</sup>·g<sup>b</sup>t<sup>c</sup>v<sup>d</sup>) = M<sup>a</sup>[Lt<sup>-2</sup>]<sup>b</sup>t<sup>c</sup>[Lt<sup>-1</sup>]<sup>d</sup> = M<sup>a</sup>L<sup>b-d</sup>t<sup>c-2b-d</sup>, o que resulta em a = 0, b - d = 1 e c - 2b - d = 0. Esse sistema possui uma infinidade de soluções: uma delas é b = 2, d = 1 e c = 5, o que resultaria em l = kg<sup>2</sup>t<sup>5</sup>v. A experiência mostrará que em nenhum caso será possível encontrar um valor para k que se ajuste aos resultados práticos. A função f teria que ser alterada para f = k<sub>1</sub>·m<sup>a</sup>·g<sup>b</sup>t<sup>c</sup>v<sup>d</sup> + k<sub>2</sub>·m<sup>e</sup>·g<sup>f</sup>t<sup>g</sup>v<sup>h</sup>, e então, após algumas tentativas, o resultado correto seria alcançado.
Considere-se o problema, relativamente simples, da determinação da força de arrasto em um objeto esférico perfeitamente liso imerso em um líquido. Podemos razoavelmente supor que o fenômeno será influenciado por um pequeno número de variáveis: o tamanho da esfera, a velocidade do fluxo, a viscosidade e a densidade do fluido. Um procedimento experimental direto para levantar o valor da força F como uma função desses 5 parâmetros seria realizar um número n de experiências diferentes variando apenas um deles, mantendo os demais constantes, e medindo de alguma forma a força de arrasto em cada caso; seriam, portanto n<sup>4</sup> experiências e n = 10, um valor não muito grande, resultaria em 10.000 experiências. Além disso, para eliminar erros aleatórios de medição, cada medição deveria ser realizada algumas vezes, e a média e a variância da distribuição, analisadas. O trabalho seria imenso e tomaria muito tempo, e o volume de dados obtido demandaria um esforço de análise ainda maior. Outra dificuldade seria a obtenção de fluidos diferentes com a mesma densidade e viscosidades diferentes, e de fluidos com viscosidades iguais e diferentes densidades.
A análise dimensional ajuda a diminuir essas dificuldades, pois podem-se combinar essas 5 variáveis (as 4 originais, mais a força de arrasto) de forma a obterem-se 2 grupos adimensionais e escrevendo-se um em função do outro, o que requer um número de experiências 1.000 vezes menor. Além disso, a viscosidade e a densidade podem ser combinadas no adimensional <math>\frac{\rho v L}{\mu}</math>, o que elimina a necessidade de se variar o valor desses parâmetros durante o experimento; basta variar a velocidade do fluxo, o que permite que apenas um líquido já seja suficiente para o levantamento.
== O teorema Pi de Buckingham ==
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# Se uma das variáveis for adimensional, ela constitui por si só um grupo π;
# Se duas variáveis q<sub>i</sub> e q<sub>j</sub> tiverem a mesma dimensão, formar um grupo π com a razão q<sub>i</sub>/q<sub>j</sub>;
# Tomar k das variáveis q<sub>i</sub>, de forma que todas as dimensões físicas estejam representadas no grupo
## não incluir nesse grupo a variável para a qual se deseja obter a fórmula;
# Resolver a equação dimensional resultante e encontrar o valor de cada expoente;▼
## não incluir nesse grupo um par de variáveis tais que a dimensão de uma seja a potência da dimensão da outra; por exemplo, comprimento (L) e momento de inércia de área (L<sup>4</sup>);
# Para cada uma das demais variáveis, tomar o grupo obtido nos passos acima, cada uma elevada a um expoente desconhecido e mais essa variável, elevada a um expoente conhecido (em geral, 1 ou -1);
▲# Resolver
=== Exemplo de aplicação do teorema ao problema do arrasto de uma esfera ===
Considere-se novamente o problema da determinação da força de arrasto em um objeto esférico perfeitamente liso imerso em um líquido, e apliquemos a ele o teorema Pi de Buckingham. As variáveis originais serão:
# o diâmetro da esfera (L) - dimensão [L];
# a velocidade do fluxo (v) - dimensão [L·t<sup>-1</sup>];
# a viscosidade do fluido (μ) - dimensão [ML<sup>-1</sup>t<sup>-1</sup>];
# a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML<sup>-3</sup>];
# a força de arrasto (F) - dimensão [MLt<sup>-2</sup>];
As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são [M], [L] e [t].
Selecionemos os 3 parâmetros ρ, v e L; F, de acordo com o teorema, não deve ser utilizado. As equações dimensionais resultantes serão:
<center><math>\pi_1 \;=\; \rho ^ a v ^ b L ^ c F \qquad \pi_2 \;=\; \rho ^ d v ^ e L ^ f \mu</math></center>
<center><math></math></center>
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