Mecânica dos fluidos/Fluxo interno laminar e turbulento: diferenças entre revisões

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Em um experimento clássico, [[w:Osborne Reynolds|Osborne Reynolds]] observou o comportamento macroscópico do fluxo de água através de um tubo, por meio da injeção de um filamento de tinta na sua entrada. Repetindo-se esse experimento para vários líquidos e diâmetros diferentes de tubo, verifica-se que o escoamento tem caráter laminar quando o [[Mecânica dos fluidos/Grupos adimensionais#Número de Reynolds|número de Reynolds]] é baixo (tipicamente, menor que 2300, embora esse limite possa ser aumentado muito em condições especiais); para valores maiores, o escoamento é turbulento.
 
Essa turbulência é causada por flutuações locais na velocidade das partículas de fluido, que têm causas diversas; por exemplo, irregularidades na superfície interna do tubo. A viscosidade do fluido permite-lhe absorver essas flutuações de velocidade. É por isso que líquidos com maior viscosidade cinemática mantêm escoamento laminar a maiores velocidades que l'quidoslíquidos menos viscosos. Como a relação velocidade/viscosidade cinemática é refletida justamente pelo número de Reynolds, é esse grupo adimensional que tem relevância na análise desse tipo de fenômeno.
 
=== Perfil de velocidades deem um fluxo laminar ===
{wikipedia|Camada limite}
A velocidade em cada ponto do fluido em escoamento laminar é uma função da distância às paredes do tubo, conforme ilustrado na figura abaixo. O escoamento se dá na direção do eixo X; u é a velocidade de cada elemento de volume na direção x; y é a distância do elemento até a parede inferior. Como o fluxo é laminar, não há componentes nas direções Y e Z.
[[Imagem:Laminar boundary layer scheme.svg|thumb|400px|center|Perfil de velocidades em um fluxo laminar.]]
 
A viscosidade do fluido obriga a que u = 0 nas paredes do tubo. A equação de continuidade, por sua vez, obriga a velocidade no centro do tubo a ser maior que a velocidade do fluido antes de entrar no mesmo (u<sub>0</sub>), de forma que a velocidade média não se altere. Com isso, a velocidade u também é função de x: em x = 0, u(y) é uma constante; à medida que o fluido penetra no tubo, ele vai sendo acelerado na região central, até atingir-se o perfil de velocidade definitivo. Quando isso se dá, diz-se que o escoamento já está ''plenamente desenvolvido''.
[[Imagem:Aa large.jpg|thumb|A lava escorre mais veloz ou lentamente de acordo com sua viscosidade.]] Em um sólido, as tensões derivam de deformações elásticas sofridas sob ação de forças externas. Em um fluido, as tensões derivam do fluxo resultante da aplicação dessas forças externas. A propriedade que um fluido tem de apresentar resistência às tensões cisalhantes é chamada de '''viscosidade'''. Por isso, diz-se que os sólidos são materiais ''elásticos'' e os fluidos, materiais ''viscosos''. Alguns materiais resultantes de misturas sólidos/líquidos apresentam propriedades ''viscoelásticas''.
 
Como era de se esperar, a variação da velocidade no tubo dá origem a variações análogas e inversas na pressão.
== Definição formal ==
 
A linha tracejada na figura indica a região conhecida como '''camada limite''' (ing. ''boundary layer''). Nessa região, o fluxo sofre o efeito da viscosidade do fluido. Fora dessa região, o fluido ainda não teve sua velocidade alterada pelo ingresso no tubo, ou seja, u = u<sub>0</sub>. Assim, podemos dizer que o escoamento já está plenamente desenvolvido para valores de x onde a camada limite ocupa todo o tubo. O valor de x no qual isso ocorre é chamado de '''comprimento de entrada'''.
Considere-se um elemento de fluido, de dimensões <math>(\delta x,\delta y,\delta z)</math>, localizado entre duas placas paralelas ao plano XZ, uma delas movendo-se à velocidade <math>v_x</math> em relação à outra, devido à aplicação de uma força externa no sentido do eixo X. Chamemos <math>\delta A_y</math> à superfície de contato do elemento com a placa móvel e <math>\delta F_x</math> à força exercida pela placa sobre o elemento de fluido. É fácil ver que <math>\delta F_x</math> terá a direção do eixo X. No elemento de fluido aparecerá então a tensão <math>\tau_{yx}</math>, dada por
<center><math>\tau_{yx} \;=\; \lim_{\delta A_y \to 0} \frac{\delta F_x}{\delta A_y} \;=\; \frac{dF_x}{dA_y}</math></center>
 
Para escoamento laminar, pode-se obter a seguinte expressão para o comprimento de entrada L<sub>e</sub>.
Durante o intervalo de tempo <math>\delta t</math>, o líquido é então deformado, pois a superfície <math>\delta A_y</math> se move no sentido do eixo X por uma quantidade que denotaremos por <math>\delta l</math>, enquanto a face oposta permanece no mesmo lugar. As faces do elemento, que eram inicialmente ortogonais ao eixo X, sofrem, por sua vez, uma rotação dada pelo ângulo <math>\delta \alpha</math>. É fácil ver que
 
<center><math>
\delta l \;=\; v_x \delta t \qquad
\tan \delta \alpha \;=\; \frac{\delta l}{\delta y}
</math></center>
 
Para <center><math>\deltaL_e \alpha,;=\; 0.06 \delta; t,D \deltacdot yN_{Re}</math> muito pequenos, podemos escrever</center>
<center><math>
dl \;=\; v_x dt \qquad
d \alpha \;=\; \frac{dl}{dy}
</math></center>
 
Então
<center><math>\frac{d \alpha}{dt} \;=\; \frac{v_x}{dy}</math></center>
 
onde D é o diâmetro do tubo e N<sub>Re</sub> é o número de Reynolds, que nesse caso deve ser calculado como <math>N_{Re} \;=\; \frac{\rho u_o D}{\mu}</math>. Dessa forma, tomando o valor de 2300 como limite para o número de Reynolds, teremos
Podemos dizer que o elemento de fluido, submetido à tensão de cisalhamento <math>\tau_{yx}</math>, sofre uma '''taxa de deformação''' (ou '''taxa de cisalhamento''') <math>\frac{d \alpha}{dt}</math>. Fluidos onde a taxa de deformação é proporcional à tensão de cisalhamento são chamados ''fluidos Newtonianos''. Em outras palavras, em um fluido Newtoniano
<math>L_{e} \;\le\; 138 \; D</math>.
 
=== Perfil de velocidades em um fluxo turbulento ===
<center><math>\frac{d \alpha}{dt} \;=\; \frac{v_x}{dy} \;=\; \frac{1}{\mu} \tau_{yx} \;=\; \frac{1}{\mu} \frac{dF_x}{dA_y}</math></center>
 
Para escoamento laminar, o fenômeno é qualitativamente o mesmo, embora a análise teórica não seja, em geral, possível. Os conceitos de camada limite e comprimento de entrada também se aplicam a este caso, mas, embora o número de Reynolds seja maior, L<sub>e</sub> raramente ultrapassa 40 vezes o diâmetro do tubo.
onde <math>\mu</math> é chamada '''viscosidade absoluta''' (ou '''viscosidade dinâmica''') do fluido. A dimensão da viscosidade absoluta é [massa.comprimento<sup>-1</sup>tempo<sup>-1</sup>]; no SI, a unidade de viscosidade absoluta é, portanto, kg/m.s. Também se usa o conceito de '''viscosidade cinemática''', que é a razão entre a viscosidade absoluta e a densidade; a dimensão da viscosidade cinemática é [comprimento<sup>2</sup>/tempo]; no SI, a unidade de viscosidade cinemática é, portanto, m<sup>2</sup>/s.
 
Em condições normais, a maioria dos fluidos comuns, como água, ar e gasolina são fluidos Newtonianos. Nos gases, a viscosidade absoluta tende a aumentar com a temperatura, enquanto que, nos líquidos, ela tende a diminuir. Das fórmulas acima, temos ainda que, quanto mais próximas as placas, maior a tensão de cisalhamento.
 
== Fluidos não Newtonianos ==
 
Alguns fluidos comuns, como a pasta de dentes, não são fluidos Newtonianos. A pasta de dentes comporta-se como um sólido quando dentro do tubo, comporta-se como um fluido quando o tubo é apertado, e volta a comportar-se como um sólido quando em repouso sobre a escova de dentes. Pode-se dizer que existe uma tensão de cisalhamento limiar <math>\tau_T</math>, acima da qual ela se comporta como um fluido. Fluidos com essa característica, dos quais a argila e a lama são outros exemplos, são chamados ''plásticos ideiais'' (ou ''plásticos de Bingham'') e podem ser modelados pela equação
 
<center><math>\tau_{yx} \;=\; \tau_T \;+\; \mu \frac{v_x}{dy}</math></center>
 
Os fluidos Newtonianos podem, então, ser considerados casos especiais nos quais <math>\tau_T \;=\; 0</math>.
 
O comportamento de outros fluidos não-Newtonianos pode muitas vezes ser modelado através da equação
 
<center><math>\tau_{yx} \;=\; k (\frac{v_x}{dy})^n</math></center>
 
onde n é chamado de ''índice de comportamento do fluxo'' e k, de ''índice de consistência''. Para assegurar que <math>\tau_{yx}</math> tenha o mesmo sinal de <math>\frac{v_x}{dy}</math>, e tornar a equação similar àquela válida para os fluidos Newtonianos, ela é reescrita
 
<center><math>\tau_{yx} \;=\; k \left| \frac{v_x}{dy} \right| ^{n-1} \frac{v_x}{dy} \;=\; \eta \frac{v_x}{dy}</math></center>
 
onde <math>\eta</math> é chamada a '''viscosidade aparente'''.
 
Quando n < 1, a viscosidade aparente diminui com a taxa de deformação. Fluidos com essa característica são chamados ''pseudoplásticos''; exemplos são as soluções de polímeros, suspensões coloidais e polpa de papel. Quando n > 1, a viscosidade aparente aumenta com a taxa de deformação, e o fluido é chamado de ''dilatante''; um exemplo desse tipo de fluido é a areia movediça (mistura de água e areia). Quando n = 1, o fluido é Newtoniano.
 
Finalmente, alguns fluidos apresentam um comportamento dependente do tempo. A maioria das tintas pode ser modelada considerando-se uma viscosidade aparente decrescente com o tempo. Existem também os fluidos viscoeláticos, já citados, que podem retornar à forma original após sofrer uma deformação.
 
== Classificação dos fluxos ==
 
[[Image:Laminar and turbulent flows.svg|thumb|250px|left|Movimento de uma partícula em fluxo laminar (a) e em fluxo turbilhonário (b).]]
[[Image:Flusso laminare.gif|thumb|250px|right|Fluxo laminar.]]
 
Alguns poucos problemas de mecânica dos fluidos podem ser resolvidos desprezando-se os efeitos da viscosidade; os fluxos nestes casos são chamados ''fluxos não viscosos''. Na maioria dos casos, entretanto, a viscosidade deve ser levada em conta, mesmo seu valor sendo muito pequeno. ''Fluxos viscosos'' podem ser divididos em três tipos: ''laminar'', ''turbilhonário'' (ou ''turbulento'') e ''misto''. No primeiro caso, as partículas do fluido movem-se todas à mesma velocidade e numa única direção; as partículas movem-se, assim, em camadas, ou lâminas. No segundo caso, a velocidade das partículas sofre flutuações aleatórias em todas as direções. No terceiro caso o comportamento das partículas apresenta características intermediárias entre os dois extremos.
 
Os fluxos também podem ser classificados em ''compressíveis'' e '' incompressíveis''. Líquidos são sempre considerados como incompressíveis, a não ser quando a pressão aplicada é muito alta; nestes caso, o líquido apresenta propriedades elásticas que devem ser levadas em conta. Gases são geralmente considerados fluidos compressíveis; contudo, quando a velocidade do fluxo é muito inferior à velocidade do som (o que se chama ''regime subsônico''), as propriedades elásticas dos gases podem ser desprezadas e o fluxo ser considerado incompressível.
 
Finalmente, fluxos podem ser ''internos'', quando confinados em um duto, por exemplo, ou ''externos'', em caso contrário. Um caso especial de fluxo interno é o ''fluxo em canal aberto'', que ocorre em duto não completamente cheio do fluido em questão.
 
== Exercícios resolvidos ==
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