Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido Newtoniano: diferenças entre revisões
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Linha 3:
== Fluxo plenamente desenvolvido entre duas placas planas ==
A configuração geométrica mais simples possível de um escoamento ocorre quando o líquido flui entre duas placas paralelas infinitas. Por exemplo, em muitas situações práticas, óleo lubrificante flui por um intervalo entre um cilindro e um pistão; como o intervalo de escoamento é muito pequeno, com relação às demais dimensões, o problema pode ser modelado como um fluxo entre duas placas planas infinitas. Nesses casos, h<sub>0</sub> é a espessura do intervalo. A escolha natural é o eixo X na direção do fluxo e o eixo Z na vertical. Como sabemos, a velocidade é nula nas paredes. Assim,
Linha 22:
<center><math>v_y \;=\; v_z \;=\; 0</math></center>
<center><math>\frac{\partial p}{\partial y} \;=\; \frac{\partial p}{\partial x} \;=\; 0</math></center>▼
Linha 42 ⟶ 36:
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial x} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_x}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;+\; \rho_0 g_x \;=\; \rho_0 \left( v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>
<center><math>- \; 0 \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \right) \;+\; \rho_0 g \sin \theta \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \Rightarrow \;\;\; \mu_0 \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \;=\; - \; \rho_0 g \sin \theta</math></center>▼
▲<center><math>- \;
▲<center><math>\mu_0 \frac{\partial
Na igualdade acima, o lado esquerdo é uma função de z, somente, e o lado direito, uma função somente de x. Para que isso seja verdadeiro para todo x e z, é preciso que ambos sejam iguais a uma constante. Assim
<center><math>\mu_0 \frac{\partial ^2 v_x}{\partial z ^2} \;=\; k_1 \;\;\; \Rightarrow \mu_0 \frac{\partial v_x}{\partial z} \;=\; k_1 z \;+\; k_2 \;\;\; \Rightarrow \mu_0 v_x \;=\; \frac{k_1}{2} z ^2 \;+\; k_2 z \;+\; k_3</math></center>
<center><math>v_x(0) \;=\; 0 \;\;\; \Rightarrow k_3 \;=\; 0</math></center>
<center><math>v_x(h_0) \;=\; 0 \;\;\; \Rightarrow \frac{k_1}{2} h_0 ^ 2 \;+\; k_2 h_0 \;=\; 0 \;\;\; \Rightarrow k_2 \;=\; - \; \frac {k_1 h_0}{2}</math></center>
Assim
<center><math>v_x \;=\; \frac{1}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial z} \; (z ^ 2 \;-\; h_0 z)</math></center>
As equações para os demais eixos simplificam-se da seguinte forma:
Linha 59 ⟶ 74:
<center><math>\;-\; \; \frac{\partial p}{\partial z} \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;+\; \rho_0 g \cos \theta \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \Rightarrow \;\;\; \frac{\partial p}{\partial z} \;=\; \rho_0 g \cos \theta</math></center>
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial y} \;+\; \mu_0 \left( \frac{\partial ^2 v_y}{\partial x ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial y ^2} \;+\; \frac{\partial ^2 v_y}{\partial z ^2} \right) \;=\; \rho_0 \left( v_y \frac{\partial v_x}{\partial x} \;+\; v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} \;+\; v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} \;+\; \frac{\partial v_x}{\partial t} \right)</math></center>
<center><math>0 \;+\; \mu_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right) \;=\; \rho_0 \left( 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \;+\; 0 \right)</math></center>
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