Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido Newtoniano: diferenças entre revisões
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A variação da pressão ao longo do eixo X se dá porque a viscosidade do fluido provoca uma perda de carga devido ao atrito com as paredes. Curiosamente, a variação da velocidade ao longo desse eixo não faz com que a pressão varie de forma similar; a variação de pressão nesse sentido deve-se apenas ao efeito da gravidade. É a variação da velocidade ao longo do eixo Z que está relacionada com a variação da pressão ao longo do eixo X.
Uma vez obtidas as velocidades, podemos calcular as tensões a partir das relações
<center><math>\tau_{xy} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_y}{\partial x} \;=\; 0</math></center>
<center><math>\tau_{xz} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_z}{\partial x} \;=\; 0</math></center>
<center><math>\tau_{yx} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_x}{\partial y} \;=\; 0</math></center>
<center><math>\tau_{yz} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_z}{\partial y} \;=\; 0</math></center>
<center><math>\tau_{zx} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_x}{\partial z} \;=\; \mu_0 \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} (z ^ 2 \;-\; h_0 z) \right) \;=\; \frac{1}{2} \; \frac{\partial p}{\partial x} \; (2z \;-\; h_0)</math></center>
<center><math>\tau_{zy} \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_y}{\partial z} \;=\; 0</math></center>
As equações acima mostram que só estão presentes tensões no sentido do eixo X, devidas à pressão exercida no eixo Z. A tensão é nula no centro do fluxo, onde <math>z \;=\; \frac{h_0}{2}</math>. Nesse ponto, a velocidade é máxima
<center><math>v_x(\frac{) \;=\; \mu_0 \frac{\partial v_y}{\partial z} \;=\; 0</math></center>
A vazão é dada por
<center><math>\Phi \;=\; \int_A v_x \; dA \;=\; \int_A v_x \; dz \; dy \;=\; L \int_0^{h_0} v_x \; dz</math></center>
onde L é a largura das placas. Assim,
<center><math>\Phi \;=\; L \int_0^{h_0} \frac{1}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} (z ^ 2 \;-\; h_0 z)\; dz \;=\; \frac{L}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} \; \left. \left( \frac{z^3}{3} \;-\; \frac{h_0 z^2}{2} \right) \right|_0^{h_0}</math></center>
<center><math>\Phi \;=\; \frac{L}{2 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x} \; \left( \frac{h_0^3}{3} \;-\; \frac{h_0^3}{2} \right) \;=\; - \; \frac{L \; h_0^3}{12 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x}</math></center>
A vazão é positiva, porque <math>\frac{\partial p}{\partial x}</math> é negativa (a pressão vai diminuindo no sentido do fluxo). A velocidade média será
<center><math>\bar v_x \;=\; \frac{\Phi}{A} \;=\; \frac{ - \; \frac{L \; h_0^3}{12 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x}}{L \; h_0} \;=\; - \; \frac{h_0^2}{12 \mu_0} \; \frac{\partial p}{\partial x}</math></center>
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