Análise rn/Espaços vetoriais: diferenças entre revisões
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Linha 3:
== Espaço Vetorial <math> \mathbb{R}^n </math> ==
* Definição:
:O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a <math> \mathbb{R} </math>, cujo
::<math> \mathbb{R}^n = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots \times\mathbb{R} </math>
:Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)
* Os pontos <math> a \in \mathbb{R}^n </math>:
:são todos os pontos a = <math> (a_1, a_2, \cdots ,a_n) </math>,
* Unicidade de pontos:
:Dados a = <math> (a_1, a_2, \cdots ,a_n) </math> e b = <math> (b_1, b_2, \cdots ,b_n) </math>. Temos que <math> a=b \Leftrightarrow a_i = b_i, \forall i \in I_n </math>
Linha 18:
* Estas operações fazem de <math> \mathbb{R}^n </math> um ''espaço vetorial'' de dimensão n sobre o corpo dos <math> \mathbb{R} </math>.
:O elemento neutro para adição é <math> \vec 0 = (0,0,...,0) </math>
:O simétrico de <math> a \; </math> é <math> -a \;</math> assim <math> -a = (-a_1, -a_2, \cdots, -a_n) </math>
* Os elementos <math> a \in \mathbb{R}^n </math> serão chamados pontos ou vetores
* Chamaremos ''aplicação linear'' ao invés de ''transformação linear''.
* A base canônica de <math> \mathbb{R}^n </math> é formada pelos vetores:
:<math> e_1=(1,0,0,0,\cdots,0,0,0); e_1=(0,1,0,0,\cdots,0,0,0); \cdots; e_n=(0,0,0,0,\cdots,0,0,1) </math>
*Dado <math> a \in \mathbb{R}^n </math> temos que <math> a = \sum_{
=== Exemplos ===
* Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto <math> \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) </math> das aplicações lineares <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> e o conjunto <math> M(n\times m) </math> das matrizes reais <math> (
** A matriz <math> (
: (*) <math> A \cdot e_j = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}e_j; j \in I_m </math>
**Assim a matriz <math> (a_{ij}) </math> da aplicação linear <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> tem como colunas os m vetores <math> A \cdot e_j = (a_{1j}, \cdots, a_{nj} ) \in \mathbb{R}^n</math>, transformados por A dos vetores da base canônica de <math>\mathbb{R}^n</math>
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