Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo: diferenças entre revisões
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Problema de geometria inspirado em comédia inspirada na mitologia grega :-) |
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[[Image:603090 triangle.png]]
== Exercícios resolvidos ==
Na comédia antiga ''Diálogo dos mortos'', do poeta satírico {{w|Luciano de Samóstrata}}, {{w|Hermes}} empilha as montanhas Ossa e ''Pelion'' sobre o Olimpo, na esperança de, a partir de um ponto de vista mais alto, poder mostrar toda a Terra para {{w|Caronte}}; para sua decepção, porém, ele só consegue ver ao oeste, parte da Itália, ao sul, até Creta, ao leste, até a Jônia e, ao norte, até o Danúbio.<ref>{{w|Luciano de Samóstrata}}, ''Diálogo dos mortos'', ''Caronte''</ref> Considerando a Terra esférica, que a visão corresponde a um raio tangente, que o ponto mais distante observado seja o ponto de tangência, que a soma da altura dos três montes seja 5 km e que a distância até o ponto de tangência seja 400 km, calcule qual foi o raio da Terra usado por Luciano.
{{Quadro
|expandir = NÃO
|pontilhado = sim
|Demonstração
|[[Imagem:Abu Reyhan Biruni-Earth Circumference.svg|thumb|right|200px]]
Considere que Hermes e Caronte estejam no ponto ''A'', e que o ponto mais distante observado seja ''C''. Sabemos o valor de ''AC'' e de ''h'', portanto para calcular ''r'' basta resolver o triângulo retângulo ''OAC'':
: <math>(r + h)^2 = r^2 + AC^2\,</math>
Simplificando:
: <math>r^2 + 2 r h + h^2 = r^2 + AC^2\,</math>
Finalmente:
: <math>r = \frac{AC^2 - h^2}{2 h}\,</math>
Aplicando valores (<math>AC = 400 \ km\,</math> e <math>h = 5 \ km\,</math>)
: <math>r = \frac{160000 - 25}{50} = 15997,5\,</math>
Ou, aproximadamente, 16000 km.
Um melhor valor para ''h'' seria 6,5 km (somando a altura das três montanhas);
usando-se um valor mais próximo do valor real do raio da Terra <math>r = 6400 \ km\,</math>, obtém-se, pela equação acima, um valor para ''AC'' de, aproximadamente, 300 km, o que é razoavelmente próximo das distâncias mencionadas por Luciano.
}}
=={{Ver também}}==
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*[[Matemática elementar/Trigonometria/Lei dos senos e dos cossenos|Lei dos senos e dos cossenos]]
*[http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/bookI/images/bookI-47.html Demonstração ilustrada do Teorema de Pitágoras na edição de Byrne dos ''Elementos'' de Euclides]
== Referências ==
<references />
{{medalha|tipo=página}}
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