Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas: diferenças entre revisões

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A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total ''"x"'' de porções ''"T"'' em ''"n"'' recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:

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Considerando que uma função não constante deve ter um valor máximo e outro mínimo em um segmento de seu domínio, quais são as possibilidades de análise que teríamos com as suas derivadas, visto que estas expressam tendências da declividade da função?

 

 

 

Seja a função <math> f(x) </math> cujo domínio limitamos em <math>[a,b]</math>, a menos que <math> f(x) </math> seja constante,

Portanto sempre que temos um valor de uma função que é extremo em um intervalo, seja maior ou menor, este terá sua derivada nula.

 

 

Este teorema serve de base para outras demonstrações e observações, também sendo importante para conclusões ao longo do estudo.

<math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} = 0</math>

 

 

Tomemos dois números em um intervalo fechado <math>[a,b]</math>, quando uma função <math>f(x)</math> é contínua neste intervalo temos pelo menos um número ''c'', o qual projeta sobre a imagem da função um valor <math>f(c)</math> de forma que a sua derivada é igual ao valor da declividade da reta entre os pontos <math>\{[a,f(a)];[b,f(b)]\}</math>.

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Uma interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto", uma vez que a tangente, nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano, apresenta uma distinção clara devido à mudança de sinal, isso possibilita uma boa gama de informações para a análise de seu comportamento e por conseqüência, da função que a originou.

 

 

 

O coeficiente angular da reta que passa por um ponto da curva em uma função, nos revela uma tendência que varia conforme a tagente desta reta, tomando como referência o eixo ''x'', quando a função é crescente os valores das derivadas para os mesmos, de ''x'' são sempre positivos, enquanto que quando a função é decrescente estes são sempre negativos. O que nos sugere o seguinte teste:

 

 

 

Seja a função <math> f(x)</math>, dizemos que <math>f\ ''(x)</math> é a derivada segunda, com a qual podemos provar que:

Se <math>f\ '(x_2)>f\ '(x_1)</math> sabemos que a declividade da curva em <math>f(x_2)</math> é maior que a declividade de <math>f(x_1)</math>, como em ''c'' temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um mínimo, visto que os valores estão aumentando quando são diferentes de ''c'', ou seja, todos os valores crescem a medida nos deslocamos no eixo ''x'', portanto <math>f(c)</math> apenas pode assumir o valor mínimo no intervalo.

 

 

 

 

 

 

 

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Podemos utilizar os conceitos aprendidos neste capítulo para fazer esboço de gráficos, a utilidade deste artifício se mostra muito útil na análise de grandezas físicas e químicas.