Cálculo (Volume 1)/Integrais: diferenças entre revisões

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A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar o processo, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes, outras regras serão abordadas nos próximos capítulos, devido a complexidade que envolvem o processo, muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos, para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá-las para o momento oportuno, quando todos os elementos necessários para a abordagem do assunto estejam bem claros.

 

 

A diferencial <math>\mbox{d}x</math> ao ser operada pela antidiferenciação, resulta:

 

 

 

A constante ''c'' é operada como coeficiente da variável independente, de forma que sua antidiferencial é:

 

 

 

Se <math>f(x)=g(x) + h(x)</math> então:

Portanto, pela análise da reversibilidade, é possível constatar que a adição de duas antidiferenciais pode ser operada distributivamente, o que atesta a regra que expomos.

 

 

Seja a função <math>f(x)={x^n}</math> onde n é constante, sua antidiferencial é:

<math> U\ '(x)=f(x)</math>

 

 

Seja as funções <math>f(u)</math> e <math>u=g(x)</math>, contínuas em seus domínios ou no intervalo a que se propõe a análise em questão. A antidiferencial da função composta <math>f(u)</math> com relação a ''x'' é:

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Considerando a questão da indefinição criada pela diferenciação, o processo de antidiferenciação traz uma conseqüência indesejável para o processo de equacionamento de diferenciais. Quando uma equação diferencial é proposta, a constante de antidiferenciação faz com que o processo de resolução seja bastante prejudicado, o que exige que tenhamos técnicas especiais para tentar resolvê-la. Faremos agora uma breve introdução aos conceitos de equações diferenciais, porém, o estudo completo do tema demanda um aprofundamento maior por parte dos interessados, ao longo dos nossos estudos teremos meios para simplificar o processo, embora que a solução de muitas equações diferenciais quando não são impossíveis exigem muito esforço e dedicação.

 

 

 

Seja a equação <math>y=f(x)+\mathfrak{a}</math>, a sua derivada é expressa como:

Porém, como C é uma constante indefinida, temos uma função ainda indefinida.

 

 

 

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Seja a antidiferencial:

 

 

 

Aprofundando o conceito de que há uma soma de pequenos segmentos de área para cada ponto em uma curva, podemos delimitar uma seção da curva, através da adoção de um intervalo, desta forma teremos uma área definida, a qual chamamos de integral definida. Antes de detalhar o processo para encontrar a referida área faz-se necessário a observação de conceitos que serão úteis para seu desenvolvimento, o próximo tópico abordará a somatória, um procedimento que facilitará o estudo das somas sucessivas que propomos analisar.

 

 

 

Considere a operação: <math>U=a_1+a_2+a_3+a_3+a_4+...a_n</math>, chamamos esta operação de somatória, ela é simbolizada pela letra grega sigma (<math>\Sigma </math>), utilizando a notação escrita como segue:

'''Propriedades'''

 

 

<math>\sum_{i=1}^n c = nc</math>

<math>\sum_{i=1}^n c = c+c+c+c+c+c+ \dots +c \Rightarrow</math> n vezes.

 

 

<math>\sum_{i=1}^n cf(i) = c\sum_{i=1}^n f(i)</math>

 

 

 

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = \sum_{i=1}^n f(i) + \sum_{i=1}^n g(i)</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = [f(1) + f(2) + f(3)+ \dots +f(n)] + [g(1) + g(2) + g(3)+ \dots +g(n)]</math>

 

 

<math>\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = f(n)\ -\ f(0)</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = - f(0) + f(n) </math>

 

 

 

<math>\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x </math>

 

 

Algumas propriedades são observadas a partir dos conceitos expostos sobre a integral, são regras para simplificar algumas operações, mas que podem ser úteis para o estudo de teoremas que veremos em capítulos mais adiante, vejamos as propiedades e suas comprovações:

 

 

 

 

 

 

 

 

O que comprova o teorema.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Seja a seção <math> [a,b]</math> no domínio da função <math>f(x)</math>, dizemos que ''M'' é o valor médio da função neste intervalo, sendo seu valor definido como segue:

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