Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/D2: diferenças entre revisões
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Linha 14:
A equação de Euler ficará assim:
Linha 23:
Tanto p quanto v<sub>r</sub> são funções de r e t. Não podemos usar a equação de continuidade na forma canônica, pois o escoamento não está em regime permanente. Mas podemos dizer que a conservação de massa exige que a vazão Φ de fluido
<center><math>\Phi \;=\; 4 \pi
<center><math>\frac{\partial v_r}{\partial r} \;=\; - \; \frac{2 \Phi}{4 \pi r^3} \;=\; - \; \frac{2 v_r}{r}</math></center>
onde R é o raio do buraco, e também uma função de t. Assim,▼
<center><math>\frac{\partial v_r}{\partial t} \;=\; \frac{1}{4 \pi} \left( \frac{1}{
Manipulando a equação de Euler:▼
<center><math>\frac{\partial v_r}{\partial r} \;=\; \frac{1}{4 \pi} \left( \frac{1}{R^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial r} \;-\; \frac{2 \Phi}{R^3} \; \frac{\partial R}{\partial r} \right) \;=\; \frac{1}{4 \pi} \left(0 \;-\; \frac{2 \Phi}{R^3} \cdot 1 \right) \;=\; \frac{\Phi}{4 \pi R^2} \; \frac{2}{R}</math></center>▼
▲<center><math>- \; \frac{\partial
▲Manipulando a equação de Euler:
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial r} \;=\; \rho \left( \frac{1}{4 \pi r^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;+\; 2 v_r \; \frac{\partial v_r}{\partial r} \right)</math></center>
Integrando
<center><math>-\; \frac{1}{\rho} \int_{p(R,t)}^{p(\infty,t)} dp \;=\; \frac{1}{4 \pi} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \int_R^{\infty}\frac{dr}{r^2} \;+\; 2 \int_{v(R,t)}^{v(\infty,t)} v_r \; dv_r</math></center>
<center><math>
Assim,
<center><math>-\; \frac{1}{\rho} \int_0^{p_{\infty}} dp \;=\; \frac{1}{4 \pi} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \int_R^{\infty}\frac{dr}{r^2} \;+\; 2 \int_{vr(R,t)}^0 v_r \; dv_r</math></center>
<center><math>\frac{1}{\rho} \left. \frac{}{} p \right|_{p_\infty}^0 \;=\; \frac{1}{4 \pi} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \; \left. \frac{1}{r} \right|_{\infty}^R \;+\; \left. \frac{}{} v_r^2 \right|_{vr(R,t)}^0</math></center>
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; \frac{1}{4 \pi R} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;-\; v_r ^2 (R,t)</math></center>
Para integrar novamente e eliminar t,
<center><math>\frac{\partial \Phi}{\partial t} \;=\; \frac{\partial}{\partial t} \left( 4 \pi \cdot v_r(R,t) \cdot R^2 \right)</math></center>
<center><math>\frac{\partial \Phi}{\partial t} \;=\; 4 \pi \left( \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial t} \; R^2 \;+\; 2R \cdot v_r(R,t) \cdot \; \frac{\partial R}{\partial t}\right)</math></center>
<center><math>\frac{\partial \Phi}{\partial t} \;=\; 4 \pi \left( \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial R} \; \frac{\partial R}{\partial t} \; R^2 \;+\; 2R \cdot v_r (R,t) \cdot v_r (R,t)\right)</math></center>
<center><math>\frac{\partial \Phi}{\partial t} \;=\; 4 \pi \left( \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial R} \; v_r(R,t) \; R^2 \;+\; 2R \cdot v_r ^2 (R,t)\right)</math></center>
Assim
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; \frac{1}{4 \pi R} \; 4 \pi \left( \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial R} \; v_r(R,t) \; R^2 \;+\; 2R \cdot v_r ^2 (R,t) \right) \;-\; v_r ^2 (R,t)</math></center>
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; R \; v_r(R,t) \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial R} \;+\; v_r ^2 (R,t)</math></center>
Integrando novamente
<center><math>-\; \int_{a}^{R} \left( \frac{p_{\infty}}{\rho} \;+\; v_r ^2 (R,t) \right) \; \frac{dr}{R} \;=\; \int_0^{vr(R,t)} dv_r </math></center>
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; R \; \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial R} \; \frac{\partial R}{\partial t} \;+\; v_r ^2 (R,t)</math></center>
<center><math>-
▲<center><math>p(R,t) \;-\; p(\infty,t) \;=\; \rho (v(\infty,t)^2 \;-\; v(R,t)^2)</math></center>
<center><math>\frac{1}{\rho} (p(R,t) \;-\; p(\infty,t)) \;=\; \frac{1}{4 \pi} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \; \frac{1}{R} \;-\; v(R,t)^2</math></center>
Sabemos que
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