Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/D2: diferenças entre revisões

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Linha 29:
 
 
<center><math>\frac{\partial v_r}{\partial rt} \;=\; - \; \frac{2 \Phi1}{4 \pi r^32} \;=\; - \; \frac{2\partial v_r\Phi}{r\partial t}</math></center>
 
 
<center><math>\frac{\partial v_r}{\partial t} \;=\; \frac{1}{4 \pi} \left( \frac{1}{r^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;-\; \frac{2 \Phi}{r^3} \; \frac{\partial r}{\partial t} \right) \;=\; \frac{1}{4 \pi r^2} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;-\; \frac{2 \Phi}{r} \; v_r \right) \;=\; \frac{1}{4 \pi r^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;-\; \frac{2 v_r ^ 2}{r} \;=\; \frac{1}{4 \pi r^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_r}{\partial r}</math></center>
 
 
Linha 38 ⟶ 35:
 
 
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial r} \;=\; \rho \left( \frac{1}{4 \pi r^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_r}{\partial r} \;+\; v_r \; \frac{\partial v_r}{\partial r} \right)</math></center>
 
 
Separando as variáveis e integrando sobre todo o espaço ocupado pelo fluido, temos
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial r} \;=\; \rho \left( \frac{1}{4 \pi r^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;+\; 2 v_r \; \frac{\partial v_r}{\partial r} \right)</math></center>
 
 
<center><math>- \; \frac{\partial p}{\partial rrho} \;=\; \rho \left( \frac{1}{4 \pi r^2} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \; \partial r \;+\; 2 v_r \; \frac{\partial v_r}{\partial r} \right)</math></center>
Integrando
 
 
<center><math>-\; \frac{1}{\rho} \int_{p(R,t)}^{p(\infty,t)} dp \;=\; \frac{1}{4 \pi} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \int_R^{\infty}\frac{dr}{r^2} \;+\; 2 \int_{vvr(R,t)}^{v(\infty,t)} v_r \; dv_r</math></center>
 
 
onde R é o raio do buraco, eque também é uma função de t. Mas
 
 
Linha 59 ⟶ 56:
 
 
<center><math>-\; \frac{1}{\rho} \int_0^{p_{\infty}} dp \;=\; \frac{1}{4 \pi} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \int_R^{\infty}\frac{dr}{r^2} \;+\; 2 \int_{vr(R,t)}^0 v_r \; dv_r</math></center>
 
 
<center><math>\frac{1}{\rho} \left. \frac{}{} p \right|_{p_\infty}^0 \;=\; \frac{1}{4 \pi} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \; \left. \frac{1}{r} \right|_{\infty}^R \;+\; \left. \frac{1}{2} \; v_r^2 \right|_{vr(R,t)}^0</math></center>
 
 
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; \frac{1}{4 \pi R} \; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \;-\; \frac{v_r ^2 (R,t)}{2} </math></center>
 
 
Linha 86 ⟶ 83:
 
 
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; \frac{1}{4 \pi R} \; 4 \pi \left( \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial R} \; v_r(R,t) \; R^2 \;+\; 2R \cdot v_r ^2 (R,t) \right) \;-\; \frac{v_r ^2 (R,t)}{2}</math></center>
 
 
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; R \; v_r(R,t) \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial R} \;+\; \frac{3 v_r ^2 (R,t)}{2}</math></center>
 
 
Introduzindo a variável u = v<sup>2</sup>(R,t) e integrando, temos
 
 
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; \frac{R}{2} \; \frac{du}{dR} \;+\; \frac{3u}{2}</math></center>
 
 
<center><math>\left( 2 \; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;+\; 3u \right) \; dR\;=\; -\; R \; du</math></center>
 
 
<center><math>\frac{du}{2 \; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;+\; 3u} \;=\; -\; \frac{dR}{R}</math></center>
 
 
<center><math>\int_0^u \frac{du}{2 \; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;+\; 3u} \;=\; -\; \int_a^R \frac{dR}{R}</math></center>
 
 
<center><math>\frac{1}{3} \; \left. ln \left( \frac{p_{\infty}}{\rho} \;+\; 3u \right) \right|_0^u \;=\; -\; \left. \frac{}{} ln(R) \right|_a^R</math></center>
 
 
<center><math>\frac{1}{3} \; ln \left( \frac{\frac{p_{\infty}}{\rho} \;+\; 3u}{\frac{p_{\infty}}{\rho}} \right) \;=\; ln \left( \frac{a}{R} \right)</math></center>
 
 
<center><math>\frac{1}{3} \; ln \left( \frac{\frac{p_{\infty}}{\rho} \;+\; 3u}{\frac{p_{\infty}}{\rho}} \right) \;=\; ln \left( \frac{a}{R} \right)</math></center>
 
 
<center><math>\left( 1 \;+\; \frac{3 \rho u}{p_{\infty}} \right) ^ {\frac{1}{3}} \;=\; \frac{a}{R}</math></center>
 
 
 
 
 
<center><math>-\; \frac{p_{\infty}}{\rho} \;=\; R \; v_r(R,t) \frac{\partial v_r(R,t)}{\partial R} \;+\; v_r ^2 (R,t)</math></center>
 
 
Integrando novamente