Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/D2: diferenças entre revisões
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Linha 119:
<center><math>\Delta t \;=\; \int dt \;=\; \int_a^0 \frac{dR}{v} \;=\; \int_a^0 \frac{dR}{- \; \sqrt{u}}</math></center>
onde o sinal negativo vem do fato de estarmos esperando que a velocidade do fluido esteja no sentido da diminuição do raio. Assim,
<center><math>\Delta t \;=\; \int_a^0 \frac{dR}{\sqrt{\frac{2 p_{\infty}}{3 \rho} \; \left( \left( \frac{a}{R} \right) ^ 3 \;-\; 1 \right)}} \;=\; \left( \frac{2 p_{\infty}}{3 \rho} \right) ^{- \; \frac{1}{2}} \; \int_a^0 \left( \left( \frac{a}{R} \right) ^ 3 \;-\; 1 \right) ^{- \; \frac{1}{2}} \; dR</math></center>▼
▲<center><math>\Delta t \;=\; \
Manipulando a integral
<center><math>\Delta t \;=\; \sqrt{\frac{3 \rho}{2 p_{\infty}}} \cdot \int_0^a R ^ {\frac{3}{2}} \; \cdot \; a ^ {- \; \frac{3}{2}} \; \cdot \; \left( 1 \;-\; \left( \frac{R}{a} \right) ^3 \right) ^ {- \; \frac{1}{2}} \; \cdot \; dR</math></center>
<center><math>\Delta t \;=\; \sqrt{\frac{3 \rho}{2 p_{\infty}}} \; \cdot \; \int_0^a (R^3) ^{- \; \frac{1}{6}} \; \cdot \; (a^3 \;-\; R^3) ^ {- \; \frac{1}{2}} \; \cdot \; d(R^3)</math></center>
<center><math>\Delta t \;=\; \sqrt{\frac{3 \rho}{2 p_{\infty}}} \cdot \int_0^{a^3} w ^ {- \; \frac{1}{6}} (a^3 \;-\; w) ^ {- \; \frac{1}{2}} \; dw</math></center>
Examinando a forma da função Beta incompleta
<center><math>\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!</math></center>
reconhecemos que as integrais coincidem, se fizermos x = a<sup>3</sup>, α = <math>\frac{5}{6}</math> e β = <math>\frac{1}{2}</math>. Assim,
<center><math>\Delta t \;=\; \sqrt{\frac{3 \rho}{2 p_{\infty}}} \cdot \int_0^{a^3} w ^ {- \; \frac{1}{6}} (a^3 \;-\; w) ^ {- \; \frac{1}{2}} \; dw</math></center>
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