Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Chap1: diferenças entre revisões

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Criou nova página com '==2.1== Prove que <math> \left \| x \right \| \le \sum_{i=1}^n |x_i| </math> === Resolução === * Devemos mostrar primeiro que <math> \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \le \sum_{i=...'
 
Sem resumo de edição
Linha 1:
==2.1-1==
Prove que <math> \left \| x \right \| \le \sum_{i=1}^n |x_i| </math>
=== Resolução ===
Linha 7:
** Tome <math> \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}} \ge \sqrt{a_1+a_2+...+a_n} + \sqrt{a_{n+1}} \le \sqrt{a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}}, \forall a_1,a_2,...,a_n, a_{n+1} \in \mathbb{R}^+ </math>
* <math> \left \| x \right \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \le \sum_{i=1}^n \sqrt{x_i^2} \le \sum_{i=1}^n |x_i| </math>
==2.1-2==
Quando é que vale a igualdade em <math>\left \| x+y \right \| \le \left \| x \right \| + \left \| y \right \|</math>. Reexamine a prova, a resposta não é "quando x e y são linearmente dependentes".
=== Resolução ===
Linha 13:
** Tome <math>x = cy, c \in \mathbb{R}, \left \| x+y \right \| = \left \| cy+y \right \| = \left \| (c+1)y \right \| = (|c|+1) \left \| y \right \| = |c|\left \| y \right \| + \left \| y \right \| = \left \| cy \right \| + \left \| y \right \|= \left \| x \right \| + \left \| y \right \|</math>
 
==2.1-3==
Prove que <math>\left \| x-y \right \| \le \left \| x \right \| + \left \| y \right \|</math>. Quando a igualdade mantem?
=== Resolução ===
Linha 21:
** Tome <math>y = -cx, c \in \mathbb{R}^+, \left \| x-y \right \| = \left \| x-(-cx) \right \| = \left \| x+cx \right \| = \left \| (1+c)x \right \| = |c+1| \left \| x \right \| = |c|\left \| x \right \| + \left \| x \right \| = \left \| cx \right \| + \left \| x \right \|= </math><math> = \left \| -y \right \| + \left \| x \right \| = \left \| y \right \| + \left \| x \right \|</math>
 
==2.1-4==
=== Resolução ===
==2.1-5==
=== Resolução ===
==2.1-6==
=== Resolução ===
==2.1-7==
=== Resolução ===
==2.1-8==
=== Resolução ===
==2.1-9==
=== Resolução ===
==2.1-10==
=== Resolução ===
==2.1-11==
=== Resolução ===
==2.1-12==
=== Resolução ===
==2.1-13==
=== Resolução ===