Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Chap1: diferenças entre revisões

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Uma transformação linear <math>T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> preserva a norma se <math> \left \| T(x)\right \| = \left \| x \right \|</math>, e preserva o produto interno se <math>\langle TxT(x),TyT(y) \rangle = \langle x,y \rangle</math>.
* Prove que T preservarápreserva a norma se, e somente, se T preservarápreserva o produto interno.
* Prove que uma tal transformação linear T é injetiva e a <math>T^{-1} \;</math> é da mesma maneira.
=== Resolução ===
* Se T preserva a norma, então T preserva o produto interno.
** <math> \left \| T(x+y)\right \|^2 = \left \| x+y \right \|^2 \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \left \| T(x)+T(y) \right \|^2 = \left \| x+y \right \|^2 \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \langle T(x)+T(y),T(x)+T(y) \rangle = \langle x+y,x+y \rangle \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \langle T(x),T(x) \rangle + 2\langle T(x),T(y) \rangle + \langle T(y),T(y) \rangle = \langle x,x \rangle + 2\langle x,y \rangle + \langle y,y \rangle \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \left \| T(x) \right \|^2 + 2\langle T(x),T(y) \rangle + \left \| T(y) \right \|^2 = \left \| x \right \|^2 + 2\langle x,y \rangle + \left \| y \right \|^2</math>.
** Como T preserva a norma, <math> \left \| T(x) \right \|^2 + \left \| T(y) \right \|^2 = \left \| x \right \|^2 + \left \| y \right \|^2</math>. Então <math> 2\langle T(x),T(y) \rangle = 2\langle x,y \rangle \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \langle T(x),T(y) \rangle = \langle x,y \rangle</math>
* Se T preserva o produto interno, então T preserva a norma.
** <math> \langle T(x), T(x)\rangle = \langle x, x\rangle \Rightarrow </math>
** <math> \Rightarrow \left \| T(x)\right \|^2 = \left \| x \right \|^2 \Rightarrow </math>.
** <math> \Rightarrow \left \| T(x)\right \| = \left \| x \right \|</math>
* T é injetiva
**
 
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