Matemática elementar/Relações: diferenças entre revisões

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'''Relações''' são, conforme visto no [[Matemática elementar/Conjuntos|capítulo anterior]], quaisquer subconjuntos do [[Matemática elementar/Conjuntos#Par ordenado e produto cartesiano|produto cartesiano]] A &times; B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X<sub>1</sub> &times; X<sub>2</sub> &times; ... &times; X<sub>n</sub>), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada '''relação binária'''.
 
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As funções são estudadas com mais detalhes no [[Matemática elementar/Funções|próximo capítulo]].
 
== Relações de equivalência ==
Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir.
Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb.
Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades:
∀a <math>\in</math> A aRa (propriedade reflexiva)
∀a,b <math>\in</math> A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica)
∀a,b,c <math>\in</math> A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva)
Ela é dita Relação de Equivalência.
 
Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência.
Seja ā = {x <math>\in</math> A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são:
 
Teorema: Se a <math>\in</math> ē ⇒ ā=ē
Demonstração: Tome x <math>\in</math> ā. Por definição xRa. Como a <math>\in</math> ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x <math>\in</math> ē.
Tome x <math>\in</math> ē. Por definição xRe. Como a <math>\in</math> ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x <math>\in</math> ā.
Deste modo, ā=ē.
 
Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅
Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a <math>\in</math> ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅.
 
Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅
Demonstração: Se ā≠ē, então existe u <math>\in</math> ā tal que u∉ē ou u <math>\in</math> ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u <math>\in</math> ā tal que u∉ē.
Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅.
Logo ā∩ē=∅.
 
Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x <math>\in</math> P ⇒ x⊆X, além de x,y <math>\in</math> P ⇒ x∩y=∅ e x <math>\in</math> X ⇒ ∃a <math>\in</math> P tal que x <math>\in</math> a.
 
Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a <math>\in</math> A} é uma partição de A.
Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição.
Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior.
E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P.
Deste modo P é uma partição de A.
 
Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a <math>\in</math> ē é de equivalência.
Demonstração: a <math>\in</math> ā por definição, de modo que aRa para todo a em A.
Se aRe, então a <math>\in</math> ē, logo ā=ē. Daí, como e <math>\in</math> ē por definição, então e <math>\in</math> ā. Logo eRa
Se aRe e eRu, então a <math>\in</math> ē e e <math>\in</math> ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a <math>\in</math> ū e, portanto, aRu.
Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência.
 
Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição.
Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria.
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