Álgebra linear/Sistemas de equações lineares: diferenças entre revisões
[edição não verificada] | [edição não verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Não é mais preciso inserir a navegação manualmente, basta manter a lista de capítulos do livro atualizada. Ver detalhes |
mais semântica; atualização de <font> para <span> |
||
Linha 19:
{{CaixaMsg|tipo=dica|style=width:100%;border:1px solid #aaa;|texto=
* Para uma breve discussão sobre o uso de outros tipos de ''escalares'' no contexto da álgebra linear, recomenda-se a leitura da primeira seção do capítulo sobre equações lineares no livro "Linear Algebra", de [[../Bibliografia#Hoffman & Kunze (1971)|Hoffman & Kunze]].
* Se quiser saber mais sobre corpos e outras estruturas algébricas, será interessante consultar um livro específico de Álgebra. (Veja exemplos na [[../Bibliografia|bibliografia]])
}}
Linha 37 ⟶ 35:
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
<ul>
<br> Nesta equação, as variáveis são <math>x</math> e <math>y</math>, e o termo constante é <math>-4</math>.</li> <li><math>7x_1 = 15\imath + x_2 - (10+2\imath)x_3</math>
<br>
<br>
</ul>
▲*<math>\frac{1}{\sqrt{2}} z\ = \pi</math>
▲:Neste último exemplo aparece apenas a variável <math>z</math>, com coeficiente <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>. O termo constante é <math>\pi</math>.
}}
Linha 66 ⟶ 65:
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
* Se <math>n</math> é igual a 2, a equação linear tem como correspondente geométrico uma ''linha reta''.
* Se <math>n</math> for 3, o conjunto solução é representado geometricamente como um ''plano'' no espaço tridimensional.
}}
Linha 97 ⟶ 95:
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
*<math>\left\{\begin{matrix}
3x & + & 2y & - & z & = & 1\\
Linha 103 ⟶ 101:
-x & + & \tfrac{1}{2} y & - & z & = & 0
\end{matrix}\right.</math> é um sistema de três equações, nas variáveis <math>x, y</math> e <math>z</math>.
*<math>\left\{\begin{matrix}
x_1 & + & x_2 & = & 2\\
Linha 109 ⟶ 106:
x_1 & + & x_2 & = & 0
\end{matrix}\right.</math> é um sistema de três equações e duas variáveis <math>x_1</math> e <math>x_2</math>.
*<math>\left\{\begin{matrix}
\alpha & - & 2\beta & - & 3\gamma & = & 0\\
Linha 123 ⟶ 119:
[[Image:Secretsharing-3-point.png|thumb|right|Cada equação de um sistema linear em três variáveis determina um [[w:Plano (geometria)|plano]]. Uma solução do sistema corresponde a um ponto na interseção desses planos]]
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
Considere os sistemas de equações lineares apresentados acima.
* <math>\left\{\begin{matrix}
Linha 129 ⟶ 125:
2x & - & 2y & + & 4z & = & -2 \\
-x & + & \tfrac{1}{2} y & - & z & = & 0
\end{matrix}\right.</math> tem como sua solução <math>(1,-2,-2)</math>.
* <math>\left\{\begin{matrix}
x_1 & + & x_2 & = & 2\\
Linha 137 ⟶ 131:
x_1 & + & x_2 & = & 0
\end{matrix}\right.</math> não tem qualquer solução, pois não existem números <math>x_1</math> e <math>x_1</math> cuja soma seja 2, e ao mesmo tempo seja nula.
* <math>\left\{\begin{matrix}
\alpha & - & 2\beta & - & 3\gamma & = & 0\\
\end{matrix}\right.</math>, embora seja formado por uma única equação linear, admite uma infinidade de soluções, todas da forma <math>(2\beta + 3\gamma , \beta, \gamma)</math>.
}}
Linha 149 ⟶ 141:
Em geral, para qualquer sistema linear existem três possibilidades a respeito das soluções:
*'''Uma única solução:''' Neste caso, existe apenas uma solução específica (uma certa ''<math>n</math>-upla''). O conjunto <math>S</math> tem um único elemento. Geometricamente, isto implica que os <math>n</math>-planos determinados pelas equações do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto do [[w:Espaço euclideano|espaço]], que é especificado pelas coordenadas da solução (as "entradas" da <math>n</math>-upla). O sistema é dito ''possível'' (''existe'' alguma solução) e determinado (existe uma ''única'' solução);
*'''Nenhuma solução:''' Nesta situação, não existe qualquer ''<math>n</math>-upla'' de valores que verifiquem simultaneamente ''todas'' as equações do sistema. O conjunto <math>S</math> é vazio. Geometricamente, os <math>n</math>-planos correspondentes as equações não se intersectam (são paralelos). O sistema é dito '''impossível''' (''não existe'' solução).
*'''Infinitas soluções:''' As equações especificam <math>n</math>-planos cuja intersecção é um <math>m</math>-plano onde <math>m\le n</math>. Sendo este o caso, é possível explicitar um conjunto <math>S</math> com infinitas soluções. O sistema é dito '''possível''' (''existe'' alguma solução) e '''indeterminado''' (sua quantidade é ''infinita'')
Linha 174 ⟶ 163:
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
<ul>
x & = & 2\\
y & = & 3
\end{matrix}\right.</math> <
<br>Obviamente, existe um único par ordenado <math>(x,y)</math> que é solução de tal sistema. Seu conjunto solução é <math>S=\{ (2,3) \}</math>.</li>▼
▲Obviamente, existe um único par ordenado <math>(x,y)</math> que é solução de tal sistema. Seu conjunto solução é <math>S=\{ (2,3) \}</math>.
▲* Sabendo que a segunda igualdade em <font color=red><code>(I)</code></font> vale se, e somente se, é verdade que <math>-2y = -6</math>, pode-se concluir que as soluções do sistema acima são as mesmas do sistema
▲:<math>\left\{\begin{matrix}
x & = & 2\\
-2y & = & -6
\end{matrix}\right.</math> <
▲* Além disso, todo par ordenado que satisfaz as equações deste último sistema, é também solução de
▲:<math>\left\{\begin{matrix}
-2y & = & -6\\
x & = & 2
\end{matrix}\right.</math> <
<br>pois, logicamente, não faz diferença a ordem em que as equações aparecem em um sistema.</li>▼
▲pois, logicamente, não faz diferença a ordem em que as equações aparecem em um sistema.
▲* Uma outra equivalência, não tão imediata, é entre o sistema <font color=red><code>(III)</code></font> e
▲:<math>\left\{\begin{matrix}
& - & 2y & = & -6 \\
x & - & 2y & = & -4
\end{matrix}\right.</math> <
<br>Para ter certeza que ambos os sistemas são equivalentes, basta observar que se um par ordenado é solução do primeiro, então suas coordenadas verificam <math>-2y=-6</math> e <math>x=2</math>, por tanto (somando membro a membro), tem-se <math>x-2y=-4</math>.
▲* Finalmente, pode-se facilmente perceber que o sistema anterior é equivalente a
▲:<math>\left\{\begin{matrix}
& - & 2y & = & -6 \\
x & - & 2y & = & -4\\
-x & + & 2y & = & 4
\end{matrix}\right.</math> <
<br>pois as soluções da última equação são as mesmas da segunda.</li>
</ul>
}}
Nos exemplos anteriores, pode-se notar que todos os sistemas possuem o mesmo conjunto solução (são ''equivalentes''), embora no exemplo <
Isso sugere uma estratégia para resolver sistemas lineares: para determinar o conjunto solução de um sistema linear arbitrário (por exemplo <
Resta agora encontrar uma forma de produzir sistemas lineares equivalentes a um sistema dado, e que sejam simples (senão imediatos!) de resolver. As técnicas usadas para este fim serão apresentadas na próxima seção.
Linha 261 ⟶ 245:
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
Por exemplo, se o sistema linear for
:<math>\left\{\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\
|