Álgebra linear/Sistemas de equações lineares: diferenças entre revisões

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{{CaixaMsg|tipo=dica|style=width:100%;border:1px solid #aaa;|texto=
;'''Sugestões de leitura:'''
* Para uma breve discussão sobre o uso de outros tipos de ''escalares'' no contexto da álgebra linear, recomenda-se a leitura da primeira seção do capítulo sobre equações lineares no livro "Linear Algebra", de [[../Bibliografia#Hoffman & Kunze (1971)|Hoffman & Kunze]].
 
* Se quiser saber mais sobre corpos e outras estruturas algébricas, será interessante consultar um livro específico de Álgebra. (Veja exemplos na [[../Bibliografia|bibliografia]])
 
}}
 
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{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;'''Exemplos:'''
<ul>
*<math>x + 3y = -4</math>
:<li><math>x + 3y = -4</math>
<br>
Nesta equação, as variáveis são <math>x</math> e <math>y</math>, e o termo constante é <math>-4</math>.</li>
<li><math>7x_1 = 15\imath + x_2 - (10+2\imath)x_3</math>
 
<br>
 
*Aqui, aparece uma equação que não está na "forma padrão". Pode-se reescrevê-la como <math>7x_1 =- 15\imathx_2 + x_2 - (10+2\imath)x_3 = 15\imath</math>.</li>
*<li><math>\frac{1}{\sqrt{2}} z\ = \pi</math>
:Aqui, aparece uma equação que não está na "forma padrão". Pode-se reescrevê-la como <math>7x_1 - x_2 + (10+2\imath)x_3 = 15\imath</math>.
<br>
 
:Neste último exemplo aparece apenas a variável <math>z</math>, com coeficiente <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>. O termo constante é <math>\pi</math>.</li>
 
</ul>
*<math>\frac{1}{\sqrt{2}} z\ = \pi</math>
:Neste último exemplo aparece apenas a variável <math>z</math>, com coeficiente <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>. O termo constante é <math>\pi</math>.
}}
 
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{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
* Se <math>n</math> é igual a 2, a equação linear tem como correspondente geométrico uma ''linha reta''.
:;**'''Exemplos: '''
:***<math>y\ =\ -x+5</math> pode ser representada pela reta que passa pelos pontos <math>(0,5)</math> e <math>(5,0)</math>.
:***<math>y\ =\ \frac{1}{2}x +2</math> corresponde a reta que contém os pontos <math>(-4,0)</math> e <math>(2,3)</math>.<br>Observe que o ponto <math>(2,3)</math> também está na reta dada pela primeira equação (veja a figura).
::Observe que o ponto <math>(2,3)</math> também está na reta dada pela primeira equação (veja a figura).
* Se <math>n</math> for 3, o conjunto solução é representado geometricamente como um ''plano'' no espaço tridimensional.
:;**'''Exemplo:'''
:***Os pontos <math>(x,y,z)</math> que são soluções da equação linear <math>x+y+z=1</math> estão todos sobre o [[w:Plano (geometria)|plano]] definido por <math>A=(1,0,0)</math>, <math>B=(0,1,0)</math> e <math>C=(0,0,1)</math>.
}}
 
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{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;'''Exemplos:'''
*<math>\left\{\begin{matrix}
3x & + & 2y & - & z & = & 1\\
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-x & + & \tfrac{1}{2} y & - & z & = & 0
\end{matrix}\right.</math> é um sistema de três equações, nas variáveis <math>x, y</math> e <math>z</math>.
 
*<math>\left\{\begin{matrix}
x_1 & + & x_2 & = & 2\\
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x_1 & + & x_2 & = & 0
\end{matrix}\right.</math> é um sistema de três equações e duas variáveis <math>x_1</math> e <math>x_2</math>.
 
*<math>\left\{\begin{matrix}
\alpha & - & 2\beta & - & 3\gamma & = & 0\\
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[[Image:Secretsharing-3-point.png|thumb|right|Cada equação de um sistema linear em três variáveis determina um [[w:Plano (geometria)|plano]]. Uma solução do sistema corresponde a um ponto na interseção desses planos]]
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;'''Exemplo:'''
Considere os sistemas de equações lineares apresentados acima.
* <math>\left\{\begin{matrix}
Linha 129 ⟶ 125:
2x & - & 2y & + & 4z & = & -2 \\
-x & + & \tfrac{1}{2} y & - & z & = & 0
\end{matrix}\right.</math> tem como sua solução <math>(1,-2,-2)</math>.
tem como sua solução <math>(1,-2,-2)</math>.
 
* <math>\left\{\begin{matrix}
x_1 & + & x_2 & = & 2\\
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x_1 & + & x_2 & = & 0
\end{matrix}\right.</math> não tem qualquer solução, pois não existem números <math>x_1</math> e <math>x_1</math> cuja soma seja 2, e ao mesmo tempo seja nula.
 
* <math>\left\{\begin{matrix}
\alpha & - & 2\beta & - & 3\gamma & = & 0\\
\end{matrix}\right.</math>, embora seja formado por uma única equação linear, admite uma infinidade de soluções, todas da forma <math>(2\beta + 3\gamma , \beta, \gamma)</math>.
 
}}
 
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Em geral, para qualquer sistema linear existem três possibilidades a respeito das soluções:
 
*'''Uma única solução:''' Neste caso, existe apenas uma solução específica (uma certa ''<math>n</math>-upla''). O conjunto <math>S</math> tem um único elemento. Geometricamente, isto implica que os <math>n</math>-planos determinados pelas equações do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto do [[w:Espaço euclideano|espaço]], que é especificado pelas coordenadas da solução (as "entradas" da <math>n</math>-upla). O sistema é dito ''possível'' (''existe'' alguma solução) e determinado (existe uma ''única'' solução);
 
*'''Nenhuma solução:''' Nesta situação, não existe qualquer ''<math>n</math>-upla'' de valores que verifiquem simultaneamente ''todas'' as equações do sistema. O conjunto <math>S</math> é vazio. Geometricamente, os <math>n</math>-planos correspondentes as equações não se intersectam (são paralelos). O sistema é dito '''impossível''' (''não existe'' solução).
 
*'''Infinitas soluções:''' As equações especificam <math>n</math>-planos cuja intersecção é um <math>m</math>-plano onde <math>m\le n</math>. Sendo este o caso, é possível explicitar um conjunto <math>S</math> com infinitas soluções. O sistema é dito '''possível''' (''existe'' alguma solução) e '''indeterminado''' (sua quantidade é ''infinita'')
 
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}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;'''Exemplos:'''
<ul>
* <li>Considere o seguinte sistema linear:
:<br><math>\left\{\begin{matrix}
x & = & 2\\
y & = & 3
\end{matrix}\right.</math> <fontspan colorstyle="color:red"><code>(I)</code></fontspan>
<br>Obviamente, existe um único par ordenado <math>(x,y)</math> que é solução de tal sistema. Seu conjunto solução é <math>S=\{ (2,3) \}</math>.</li>
 
* <li>Sabendo que a segunda igualdade em <fontspan colorstyle="color:red"><code>(I)</code></fontspan> vale se, e somente se, é verdade que <math>-2y = -6</math>, pode-se concluir que as soluções do sistema acima são as mesmas do sistema
Obviamente, existe um único par ordenado <math>(x,y)</math> que é solução de tal sistema. Seu conjunto solução é <math>S=\{ (2,3) \}</math>.
:<br><math>\left\{\begin{matrix}
 
* Sabendo que a segunda igualdade em <font color=red><code>(I)</code></font> vale se, e somente se, é verdade que <math>-2y = -6</math>, pode-se concluir que as soluções do sistema acima são as mesmas do sistema
:<math>\left\{\begin{matrix}
x & = & 2\\
-2y & = & -6
\end{matrix}\right.</math> <fontspan colorstyle="color:red"><code>(II)</code></fontspan></li>
* <li>Além disso, todo par ordenado que satisfaz as equações deste último sistema, é também solução de
 
:<br><math>\left\{\begin{matrix}
* Além disso, todo par ordenado que satisfaz as equações deste último sistema, é também solução de
:<math>\left\{\begin{matrix}
-2y & = & -6\\
x & = & 2
\end{matrix}\right.</math> <fontspan colorstyle="color:red"><code>(III)</code></fontspan>
<br>pois, logicamente, não faz diferença a ordem em que as equações aparecem em um sistema.</li>
 
* <li>Uma outra equivalência, não tão imediata, é entre o sistema <fontspan colorstyle="color:red"><code>(III)</code></fontspan> e
pois, logicamente, não faz diferença a ordem em que as equações aparecem em um sistema.
:<br><math>\left\{\begin{matrix}
 
* Uma outra equivalência, não tão imediata, é entre o sistema <font color=red><code>(III)</code></font> e
:<math>\left\{\begin{matrix}
& - & 2y & = & -6 \\
x & - & 2y & = & -4
\end{matrix}\right.</math> <fontspan colorstyle="color:red"><code>(IV)</code></fontspan>
<br>Para ter certeza que ambos os sistemas são equivalentes, basta observar que se um par ordenado é solução do primeiro, então suas coordenadas verificam <math>-2y=-6</math> e <math>x=2</math>, por tanto (somando membro a membro), tem-se <math>x-2y=-4</math>.
 
Para ter certeza que ambos os sistemas são equivalentes<br>Reciprocamente, basta observar que se um par ordenado é solução do primeiro<math>(x,y)</math> então suas coordenadas verificamsafisfaz <math>-2y=-6</math> e <math>x-2y=2-4</math>, porbasta tanto (somandosubtrair membro a membro), teme obtem-se <math>x-2y=-42</math>.</li>
* <li>Finalmente, pode-se facilmente perceber que o sistema anterior é equivalente a
 
:<br><math>\left\{\begin{matrix}
Reciprocamente, se <math>(x,y)</math> safisfaz <math>-2y=-6</math> e <math>x-2y=-4</math>, basta subtrair membro a membro, e obtem-se <math>x=2</math>.
* Finalmente, pode-se facilmente perceber que o sistema anterior é equivalente a
:<math>\left\{\begin{matrix}
& - & 2y & = & -6 \\
x & - & 2y & = & -4\\
-x & + & 2y & = & 4
\end{matrix}\right.</math> <fontspan colorstyle="color:red"><code>(V)</code></fontspan>
<br>pois as soluções da última equação são as mesmas da segunda.</li>
</ul>
}}
Nos exemplos anteriores, pode-se notar que todos os sistemas possuem o mesmo conjunto solução (são ''equivalentes''), embora no exemplo <fontspan colorstyle="color:red"><code>(V)</code></fontspan> a solução não esteja "tão evidente" como no caso de <fontspan colorstyle="color:red"><code>(I)</code></fontspan>.
 
Isso sugere uma estratégia para resolver sistemas lineares: para determinar o conjunto solução de um sistema linear arbitrário (por exemplo <fontspan colorstyle="color:red"><code>(V)</code></fontspan>), basta encontrar um outro sistema linear que lhe seja equivalente, mas cuja solução seja imediata (como o <fontspan colorstyle="color:red"><code>(I)</code></fontspan>, cuja solução é óbvia!).
 
Resta agora encontrar uma forma de produzir sistemas lineares equivalentes a um sistema dado, e que sejam simples (senão imediatos!) de resolver. As técnicas usadas para este fim serão apresentadas na próxima seção.
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{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:100%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
Por exemplo, se o sistema linear for
 
:<math>\left\{\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\