Curso de termodinâmica/Aplicação aos gases perfeitos: diferenças entre revisões
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== Experiência de Joule ==
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A diferencial
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fica:
<center><math>dE\;=\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_T dV\;=\;C_vdT</math></center>
No tocante da energia, podemos escrever:
<center><math>\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T\;=\;\left(\frac{\partial(E+PV)}{\partial P}\right)_T\;=\;\left(\frac{\partial E}{\partial P}\right)_T\;+\;\left(\frac{\partial (PV)}{\partial P}\right)_T</math></center>
<BR/>
<center><math>\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_T\;=\;\left(\frac{\partial(E+PV)}{\partial V}\right)_T\;=\;\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_T\;+\;\left(\frac{\partial (PV)}{\partial V}\right)_T</math></center>
Porém, o produto PV e energia E são ambos constantes para um gás perfeito mantido a temperatura constante. Então:
<center><math>\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_T\;=\;\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T\;=\;0</math> (gás perfeito)</center>
e, da mesma maneira:
<center><math>dH\;=\;\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P\;=\;C_pdT </math> (gás perfeito)</center>
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Em resumo , para um gás perfeito:
<math>\Delta E\;=\;\int_{T1}^{T2}C_VdT\qquad e \qquad \Delta H\;=\;\int_{T1}^{T2} C_PdT</math> qualquer seja o processo (mesmo se V e P não são constantes).
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*para qualquer gás:
<center><math>C_P-C_V\;=\;\left[P\;+\;\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_T\right]\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math></center>
*para um gás perfeito:
<center><math>C_p-C_V\;=\;P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math></center>
<BR>
<center><math>C_P\;-\;C_V\;=\;P\left[\frac{\partial \left(\frac{nRT}{P}\right)}{dT}\right]_P\;=\;P\left(\frac{nR}{P}\right)\;=\;nR</math></center>
onde <math> C_P</math> e <math>C_V</math> representam a capacidade calorífica do sistema.
Se anotamos <math>\bar{C_P}</math> e <math>\bar{C_V}</math> a capacidade por mol dos gases,
<center><math>\bar{C_P}\;-\;\bar{C_V}\;=\;R</math> (gás perfeito)</center>
==Dilatação reversível e isoterma de um gás perfeito==▼
▲== Dilatação reversível e isoterma de um gás perfeito ==
PV e <math>\Delta E</math> são constantes. A primeira lei se escreve: q + w = 0. A pressão externa aplicada é igual à pressão de equilíbrio do gás.
<math>w=\int{-P_{ext}dV}=\int{-PdV}=\int{-\frac{nRT}{V}}dV=-nRT\int{\frac{dV}{V}} = -nRTln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)</math>
<math>q\;=\;-w\;=\;nRTln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=nRTln\left(\frac{P_1}{P_2}\right)</math>
==Dilatação reversível e adiabática de um gás perfeito==▼
▲== Dilatação reversível e adiabática de um gás perfeito ==
Como não
<math>dE\;=\;dW\;=\;-PdV</math></center>
Porém, para qualquer processo com um gás perfeito, temos:
<center><math>dE\;=\;C_VdT</math></center>
Em conseqüência:
<center><math>C_VdT\;=\;-PdV</math></center>
que fica, para um processo reversível:
<center><math>n \bar C_VdT\;=\;-\frac{nRT}{V}dV</math></center>
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Integrando entre o estado inicial 1 e o estado final 2:
<center><math>\frac{\bar C_V}{R}\int \frac{dT}{T}\; =\; -\int\frac{dV}{V}\qquad seja\qquad\frac{\bar C_V}{R}ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\; =\; ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)</math></center>
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definindo:
<center><math>\gamma \;=\;\frac{C_P}{C_V}\;=\;\frac{\bar C_P}{\bar C_V}</math></center>
e sabendo que, para um gás perfeito,:<math>\bar C_P\;-\;\bar C_V\;=\;R\qquad obtemos:P_1V_1^{\gamma-1}\;=\;P_2V_2^{\gamma-1}</math>
As relações em cima mostram que a dilatação adiabática reversível de um gás perfeito provoca o resfriamento do gás. Por exemplo, num diagrama P(V):
[[Imagem:adia.gif]]
ou ainda num diagramo a três dimensões P(V,T):▼
[[Imagem:adia3d.gif]]
== Dilatação politrópica ==
Para que a dilatação seja isotérmica, é preciso que o processo ocorra muito devagar, de forma que as moléculas do gás tenham tempo para trocar energia entre si e com o exterior de forma a manter a temperatura interna constante; para que a dilatação seja adiabática, é preciso, ao contrário, que ela ocorra muito depressa, de forma que a troca de energia com o exterior seja desprezível. Na prática, a maioria dos processos ocorre numa velocidade intermediária, não se encaixando perfeitamente nem em um caso nem no outro caso. Esses processos são chamados de '''politrópicos'''.
A dilatação politrópica é governada pela expressão
<center><math>P_1 V_1 ^ {k-1}\;=\;P_2 V_2^ {k-1}</math></center>
com 1 < k < γ.
▲ou ainda num diagramo a três dimensões P(V,T):
▲[[Imagem:adia3d.gif]]
== Relação entre Delta H e Delta E - caso das reações químicas isotermas com gases perfeitos ==
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