Álgebra abstrata/Números naturais: diferenças entre revisões

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== Conjunto totalmente ordenado ==
Intuitivamente, é qualquer conjunto onde, dados dois objetos, sabemos, sem equívoco, qual deles é o maior. Em vez de dar uma definição abstrata de ordenação, vamos começar com alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar as características básicas que permitirão uma definição mais formal. Esta abordagem, apesar de não ser tão rigorosa desde o início, deve facilitar a compreensão do conceito abstrato. Nosso primeiro e mais importante passo é definir os '''números naturais'''.
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Dados dois conjuntos não vazios <math>E</math> e <math>F</math>, uma relação binária de <math>E</math> em <math>F</math>, é um subconjunto qualquer de <math> E \times F </math>. Se <math> R </math> é uma relação binária e um determinado par <math> (a,b) \in R </math> então dizemos que <math> a </math> está relacionado com <math> b </math> por <math> R </math>, e neste caso também podemos escrever <math> aRb </math>. É comum também a representação de relações por símbolos tais como <math> \equiv </math>, <math> \approx </math>, <math> \sim </math>. Quando os conjuntos <math> E </math> e <math> F </math> são iguais, escrevemos simplesmente <math> <E,R> </math>, para indicar que <math> R </math> é uma relação binária de <math> E </math> em <math> E </math>, e dizemos que <math> R </math> é uma relação sobre <math> E </math>.
 
*Exemplo: Tomemos o conjunto dos números reais <math> \mathbb{R} </math> e a relação <math> \le </math>, significando que um certo número <math> a </math> está relacionado com outro número <math> b </math> se (e somente se) <math> a \le b </math>. Assim, claramente <math> 1 \le 2; 10 \le 80; -1/2 \le 0,789; \dots </math>. De outra forma, dizemos que 1 está relacionado com 2, 10 está relacionado com 80. Claro que existem pares ordenados <math> (a,b) </math> que não fazem parte desta relação. Como por exemplo os pares <math> (100,1); (5,-3); \dots </math>
 
*Analogamente, <math> < \mathbb{R}, < > </math> também é uma relação binária.
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* ([[w:simetria|simetria]]) Se <math> x \approx y </math>, então <math> y \approx x </math>;
* ([[w:transitividade|transitividade]]) Se <math> x \approx y </math> e <math> y \approx z </math>, então <math> x \approx z </math>.
 
 
A relação <math>=</math> sobre o conjunto <math> \mathbb{N} </math> é uma relação de equivalência. De fato:
# Reflexividade
#:<math>\forall n\in\mathbb{N},\ n=n</math>
# Simetria
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N},\ n=m \Leftrightarrow m=n </math>
# Transitividade
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O conjunto <math>\mathbb{N}^{*}</math> e a operação de adição <math>+\ </math> satisfazem os seguintes axiomas:
# Fechamento
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ (n+m)\in\mathbb{N}^{*}</math>
# Comutatividade
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#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ (n<m)\Rightarrow n+l<m+l </math>
 
Essas propriedades significam o seguinte: se acrescentarmos dois números naturais positivos o resultado é um número natural positivo. A ordem em que é feita a adição de dois números não é importante e se eu adicionar dois números naturais positivos, a soma é maior do que qualquer deles. Este é o nosso conceito de adição de números positivos simplificado para as premissas básicas. Há apenas mais um pressuposto necessário para trazer àa uma existência bem definida os números naturais positivos como os conhecemos: o conjunto dos números naturais positivos não é vazio. Podemos nomear o menor elemento de <math>\mathbb{N}^{*}</math> como sendo o número 1.
:<math>\exists 1\in\mathbb{N}^{*}:1\le n,\ \forall n\in\mathbb{N}^{*}</math>
 
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Sobre os números naturais positivos, podemos definir um segundo operador, a multiplicação <math>\times</math>. O conceito de multiplicação sobre <math>\mathbb{N}^{*}</math> é simplesmente uma abreviação para a adição repetida. Aqui estão os axiomas da multiplicação.
# Fechamento
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ n\times m\in\mathbb{N}</math>
# Identidade
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# Associatividade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ (n\times m)\times l=n\times (m\times l)</math>
#: Significa que podemos inequivocamente escrever <math>n\times m\times l</math>
# Distributividade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l</math>
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Suplente derivação do '''conjunto de números naturais'''; pode ser caracterizado por alguns axiomas chamado de '''Peano''' ou '''axiomas de Peano Dedekind '''. Uma ligeira modificação das definições de adição e multiplicação nos axiomas de Peano construiria um conjunto diferente, onde o elemento "0" a ser descrita poderia ser efetivamente algum número natural diferente de 0. Estes axiomas podem, assim, servir como a definição do conjunto de números naturais.
#<math>\exists0\in\mathbb{N}</math>
#: Existe um elemento chamado de "0" dentro do conjunto dos números naturais.
#<math>\forall x\in\mathbb{N}\ \exists S_x\in\mathbb{N}_0</math>
#: Todo número natural tem um sucessor, que também é um número natural.
#<math>\forall x\in \mathbb{N}\ S_x\not=0</math>
#: Não há número natural cujo sucessor é 0.
#<math>\forall x,y\in\mathbb{N}\ S_x=S_y\implies x=y</math>
#: O sucessor de um elemento é único.
#<math> (0 \in A) \and (x \in A) \implies ( S_x \in A ) \implies \mathbb {N} \subset A </math>
#: '''[[w:Indução matemática|Indução matemática]]''': se 0 está dentro do conjunto e ''n'' esta dentro do conjunto, implica que o seu sucessor também estará dentro do conjunto e, em seguida, todos os números naturais estão dentro do conjunto.
 
Um '''número natural''' pode ser definido como um elemento do conjunto dos números naturais. Estes axiomas podem ser usados para provar muitas teoremas importantes sobre operações básicas e predicados, que são adição, multiplicação e ordem. Adição e multiplicação são muito importantes operadores binários, e a ordenação é um importante binário predicado. Eles podem ser definidos como segue:
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* Seja 0 associado com o conjunto vazio <math>\empty</math>.
* Seja o conjunto <math>S_n=n\cup\{n\}</math>
*: O sucessor de um número natural ''n'' é a união do conjunto associado com ''n'' e ''o conjunto contendo n''. Assim, cada número natural é um conjunto contendo os seus predecessores. Por exemplo, 1 é (0), 2 é (0,1), 3 é (0,1,2), e assim por diante.
*<math>\exists\mathbb{N}:\empty\in\mathbb{N}\and\left(\forall x\in\mathbb{N}\ x\cup\{x\}\in\mathbb{N}\right)</math>
*: Existe um conjunto chamado <math>\mathbb{N}</math> contendo <math>\empty</math> (o conjunto vazio), e de tal forma que para qualquer elemento x, o conjunto <math>x\cup\{x\}</math> também está dentro do conjunto. Este axioma é chamado de '''axioma do infinito''' e foi construído de modo a definir identificando-se com os números naturais.
 
Esta construção dos números naturais obviamente satisfaz os três primeiros axiomas de Peano. O fato de S<sub>x</sub> = S<sub>y</sub> <math>\implies</math> x = y pode ser visto facilmente pelo fato de que <math>x\cup\{x\}=y\cup\{y\} \implies x=y</math>. O quinto axioma de Peano detém porque se <math>\empty\in A\and\left(\forall x\in A\ x\cup\{x\}\in A\right)</math>, então este seria definido como sendo os números naturais e, por isso, o natural seria um número trivial do subconjunto A.
 
== {{Ver também}} ==
 
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