Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas: diferenças entre revisões

<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div>

 

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Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos, vejamos o que podemos aproveitar de imediato...

 

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<math> a = \frac{\mbox{d}^2 s}{\mbox{d}t^2} \,\!</math>

 

Note que ao derivarmos a função <math>s(t) \,\!</math> duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:

 

Note que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o grau do polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencial subseqüente.

 

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Vejamos o que podemos extrair das derivadas de uma função, que são expressões da declividade da curva que a representa e nos intui a possibilidade de antever o curso dos valores da função ao longo do domínio.

 

===Extremos de um intervalo===

Seja a função <math> f(x) </math> cujo domínio limitamos em <math>[a,b]</math>, a menos que <math> f(x) </math> seja constante,

 

 

 

====Números críticos:====

 

Algebricamente:

 

{{Teorema

<math>f\ '(c)=m= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \,\!</math>

}}

 

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Uma interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto", uma vez que a tangente, nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano, apresenta uma distinção clara devido à mudança de sinal, isso possibilita uma boa gama de informações para a análise de seu comportamento e por conseqüência, da função que a originou.

 

===T18 - Teste da derivada primeira===

 

===Concavidades===

 

Temos formas côncavas em todo gráfico que apresenta variações, a derivada segunda também pode nos revelar outra característica interessante quando fazemos seu cálculo e a relacionamos à concavidade em um intervalo da curva... Como a derivada segunda reflete a tendência de crescimento ou decréscimo da declividade, temos como verificar que o seu sinal indica se a concavidade do gráfico é para cima ou para baixo, ou seja:

 

===Pontos de inflexão===

 

A inflexão é uma indefinição transitória das tendências da função em um determinado ponto, dizemos que o ponto onde a função passa da condição de tendência ao crescimento para tendência ao decaimento, ou vice versa, é chamado de ponto de inflexão. De forma geral, quando a função passa de uma taxa de variação positiva: <math>f\ '(x)>0 \,\!</math> ou negativa: <math>f\ '(x)<0 \,\!</math> ou vice versa, ela passa por um ponto de inflexão.

 

O que torna possível identificar o número crítico do ponto de inflexão a partir da derivada segunda da função.

 

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