Cálculo (Volume 2)/Formas paramétricas: diferenças entre revisões

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<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III'''''</div>
 
 
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De forma a observar a evolução dos valores podemos esboçar as curvas de <math>x\,\!</math> , <math>y\,\!</math> e em relação ao parâmetro e assim teremos uma idéia de como o gráfico será desenvolvido, poderemos então esboçar <math>(x,y)\,\!</math>, veja abaixo:
 
[[Imagem:circ_paramcirc param.png|400px]]
 
Temos uma circunferência.
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Observemos o gráfico:
 
[[Imagem:ciclo_quadciclo quad.png|thumb|left|400px]]
 
 
Nesta representação:
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*<math> y \,\!</math> está representada em <font color="blue">azul</font>
*Duas referências dos valores das funções para <math> t=2 \,\!</math> estão representadas em <font color=#9D82CF>violeta</font>.
 
 
 
 
 
Veja que os valores das funções se combinam perfeitamente, determinando o ponto exato do encontro dos dois valores que o definem. O recurso do uso de eixos virtuais sobrepostos aos eixos do gráfico para representar as funções isoladamente, permite que tenhamos uma noção de como estes valores se desenvolvem em relação ao parâmetro, facilitando o esboço da função paramétrica.
 
 
 
 
 
 
 
<br />
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[[Imagem:cicloide.png|thumb|400px]]
 
 
Nesta representação:
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Note que temos um desenvolvimento dos valores das abscissas de forma ascendente, ou seja temos sempre valores positivos para a tendência de crescimento em <math>(t,x) \,\! </math>, para as ordenadas temos valores sempre positivos do cosseno sobre um valor fixo e uma característica cíclica para os valores, na representação paramétrica temos, como conseqüência, uma forma cíclica semicircular.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para verificar como conseguimos as equações paramétricas acima observemos o seguinte gráfico:
 
 
[[Imagem:Cicloide contr.jpg]]
 
 
O ciclóide é formado pelos pontos que seguem o contorno da curva formada pelo movimento do disco sobre a superfície, de forma que o ponto (P) esteja fixado a um ponto da circunferência do disco, neste gráfico consideramos o raio unitário. Porém, se o raio é uma constante (c), e observamos o triângulo inscrito no disco, no qual podemos notar a distância do ponto (P) à superfície, que corresponde ao subsegmento da circunferência, veremos que esta é: <math>\theta c \,\!</math>, onde <math>c \,\!</math> corresponde ao raio constante, o que nos dá:
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De maneira geral os conchóides são definidos pelas equações paramétricas:
 
 
<math>f(t) \,\!</math> onde:
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{|
|[[Imagem:conchoides-esquerda.png|thumb|left|400px]]
 
 
Nesta representação:
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Note que quanto mais se aproxima do eixo das ordenadas a conchóide tende a criar uma nova concha do lado oposto ao que está se desenvolvendo.
 
|-
|[[Imagem:conchoides-direita.png|thumb|right|400px]]
 
 
Nesta representação:
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*Se '''<math>\frac{dy}{dt}=0</math>''' a função tem uma '''tangente horizontal''' neste ponto;
 
A este conjunto de dados podemos adicionar as raizesraízes e pontos de inflexão, os últimos podem ser consequidos pela análise de transição na declividade junto a pontos onde as derivadas não existem.
 
Analisemos os valores que estas derivadas nos fornecem no exemplo abaixo:
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|-
|
[[Imagem:laco_parametricolaco parametrico.png|thumb|left|400px|'''''Laço''''']]
 
[[Imagem:laco_parametrico.png|thumb|left|400px|'''''Laço''''']]
|}
 
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O cálculo de áreas em funções paramétricas traz a possibilidade de encontrar a área de formas criadas por curvas fechadas, basicamente o processo é o mesmo que o descrito para as funções definidas num plano cartesiano com dependência nas abscissas, com a diferença que devemos fazer a adaptação do cálculo da integral para que tenhamos uma função com diferenciais bem definidas como vimos nos tópicos acima.
 
 
Neste exemplo iremos encontrar a área do círculo, cujo valor já é bem conhecido, o que nos possibilitará verificar a eficácia do método.
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Outra aplicação interessante para o cálculo de integrais paramétricas é o cálculo de áreas de superfície, poderemos usar a fórmula de rotação para efetuar o cálculo de superfícies criadas pela rotação de uma curva paramétrica da mesma forma que fizemos antes para o cálculo de diversas funções mais simples.
 
 
 
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