Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões
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Linha 14:
==== Prova: ====
*T é uma regra bem definida
Dado <math> v \in V, \exists x=(x_1,...,x_n), x_i \in K, i=1,...,n</math> tal que <math> v=\sum_{i=1}^n x_iv_i</math>. Podemos definir T em v como <math> Tv=\sum_{i=1}^n x_iw_i</math>. Logo T está bem definido, como sendo uma regra que associa um vetor <math>v
*T é linear
Tome <math>w \in V, w = \sum_{i=1}^n y_iv_i e c \in K</math>. Assim <math> cv+w = c\sum_{i=1}^n x_iv_i + \sum_{i=1}^n y_iv_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)v_i </math>. Pela definição <math>T(cv+w)=\sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. De outro modo
<math>cTv+ Tw=c\sum_{i=1}^n x_iw_i+ \sum_{i=1}^ny_iw_i = \sum_{i=1}^n (cx_i+y_i)w_i</math>. Portanto <math>T(cv+w)=cTv+ Tw \;</math>
*T é única
Suponha que exista <math> U:V \mapsto W, Uv_i=w_i, i=1,...,n \; </math>, então <math>v=\sum_{i=1}^n x_iv_i </math>
<math></math>
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