Álgebra linear/Formas canônicas elementares: diferenças entre revisões
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==Autovetores e autovalores==
== Valor e vetor característico ==▼
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e T um operador linear sobre um espaço vetorial V. ▼
{{Definição
▲|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre
Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' (ou '''vector próprio''') de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math>
tal que <math>T(v) = \lambda v \; </math>. Neste caso, <math>\lambda \;</math> é dito '''autovalor''' (ou '''valor próprio''') de '''T'''.
}}
Um significado prático:
* Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
* Para cada autovalor <math>\lambda \;</math>, podem existir vários autovetores <math>v \;</math> tais que <math>T(v) = \lambda v \;</math>. Dizemos que esses são ''autovetores associados ao autovalor <math>\lambda \;</math>''. Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo ''K'' ser um corpo finito.
'''Prove''':
<math> </math>▼
* Se '''v''' é um autovetor de T associado ao autovalor <math>\lambda</math>, e <math>a \in K\,</math> é um escalar não-nulo, então <math>av</math> também é um autovetor associado a <math>\lambda</math>.
* O conjunto <math>V_\lambda = \{ v \in V | T(v) = \lambda v \}</math> é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que <math>V_\lambda</math> é o conjunto de todos os autovetores associados a <math>\lambda</math> unido ao vetor nulo.
==Autovetores de uma matriz quadrada==
{{Definição
|Um autovalor de uma matriz <math>A_{n\times n}</math> é um escalar
<math>\lambda \in K</math> tal que existe um vetor '''X''', com <math>AX = \lambda X</math>,
onde X é chamado de autovetor de A associado a <math>\lambda</math>.
}}
<math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math>
{{Definição
|Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''.
O polinômio <math>p(\lambda) = \det(A - \lambda I)</math> é chamado de
polinômio característico de '''A'''.
}}
'''Prove''':
* Seja <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> uma base de '''V''', e '''v''' um autovetor de '''T''' associado ao autovalor <math>\lambda</math>. Então <math>[v]_\alpha</math> é um autovetor da matriz <math> [T]_\alpha</math> associado ao autovalor <math>\lambda</math> de <math> [T]_\alpha</math>
* Se <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> são duas bases quaisquer de '''V''', então o polinômio característico de <math> [T]_\alpha</math> é igual ao polinômio característico de <math> [T]_\beta</math>.
==Operador diagonalizável==
{{Definição
|Um operador '''T''' é dito ''diagonalizável'' se existir uma base
<math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> de '''V''' tal que <math>[T]_\alpha</math> é uma
matriz diagonal.
}}
{{Definição
|Duas matrizes quadradas de mesma ordem, '''A''' e '''B''', são ditas
''semelhantes'' se existir uma matriz '''P''', de mesma ordem, inversível, tal que
▲<math>B = P^{-1}AP</math>.
}}
{{Definição
|Uma matriz <math>A_n</math> é dita ''diagonalizável'' se <math>A_n</math> for
semelhante a uma matriz diagonal '''D''' (ou seja, existe uma matriz P,
inversível, tal que <math>D = P^{-1}AP</math>).
}}
'''Prove''':
* Se <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> são autovetores de '''T''' associados, respectivamente, aos autovetores <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> tais que <math>\lambda_i \ne \lambda_j</math> se <math>i \ne j</math>, então <math>\alpha</math> é LI.
* Seja <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> uma base de V. A matriz <math>[T]_\alpha</math> é diagonal <math>\iff \alpha</math> é uma base de '''V''' formada por autovetores de '''T'''
* Se '''T''' é auto-adjunto e <math>\lambda</math> é um autovalor de '''T''', então <math>\lambda \in R</math>.
* Se '''T''' é auto-adjunto e <math>v_1, \ldots, v_n</math> são autovetores de '''T''' associados aos autovalores <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> (distintos), respectivamente, então <math>v_i \perp v_j</math>, se <math>i \ne j</math>.
* Se '''T''' é unitário e <math>\lambda</math> é um autovalor de '''T''', então <math>|\lambda| = 1</math>.
* Se <math>\lambda</math> é um autovalor de '''T''' e '''T''' é normal, então <math>\overline{\lambda}</math> é autovalor de <math>T^*</math>.
* <math>V_\lambda</math> é '''T'''-invariante.
* <math>V_\lambda^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
* Se '''T''' é normal e <math>\lambda</math> é autovalor de '''T''', então <math>V^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
* Se '''T''' é normal, então <math>V_\lambda^\perp</math> é '''T'''-invariante.
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