Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões
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== Imagem de uma transformação linear ==
O valor de <math>T</math> em um ponto <math>(x, y)</math> pode ser reescrito da seguinte forma:
Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores <math>(2,4)</math> e <math>(3,-3)</math>, isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de <math>T</math>. Como poderá ser verificado pelo leitor<ref>Ver por exemplo [http://www.wolframalpha.com/input/?i=vectors+%282%2C4%29+and+%283%2C+%E2%88%923%29 no Wolfram Alpha]</ref>, estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de <math>T</math>.
== Núcleo ==
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===Teorema do
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
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* Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,,</math> temos <math>T(v) = 0\,</math> logo <math>T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,,</math> ou seja, <math>\lambda v \in Ker(T)\,</math>
== Posto e
Se <math> dim V< \infty </math>, e <math> T:V \mapsto W </math>
* O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).
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Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).
== Funcionais
=== Definição ===
{{Definição
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Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
== Operador
Dizemos que T uma tranformação linear, <math> T:V \mapsto V</math> é chamada operador linear de T sobre V.
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* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante).
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante.
== Notas ==
<references/>
== Ver também ==
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