Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões

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Linha 408:
Definimos a função:
 
<math>y=arctg(x)\,\!</math>,
 
arctangente de ''x'', como a inversa da função:
 
<math>x=tg(y)\,\!</math>,
 
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan^{-1} x\ ,\ \cot^{-1} x</math> ou <math>\tan^{-1} (x)\ ,\ \cot^{-1} (x)</math> ou <math>\arctan x\ ,\ \arccot x</math> ou ainda <math>\arctan (x)\ ,\ \arccot (x)</math>para representação de arctangente e arccotangente respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}
Linha 420:
Do mesmo modo podemos definir a função:
 
<math>z=arccotg(t)\,\!</math>,
 
arccotangente de ''t'', como a inversa da função:
 
<math>t=cotg(z)\,\!</math>,
 
cotangente de ''z'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.
Linha 430:
==== Derivadas da arctangente e arccotangente ====
 
Seja a função <math>y=arctg(x)\,\!</math>, sendo a sua inversa:
 
<math>x=tg(y)\,\!</math>,
 
podemos operá-la desta forma:
 
<math>dx=sec^2 (y)dy\,\!</math>
 
<math>\frac{dx}{dy}=sec^2 (y)\,\!</math>,
 
Por outro lado:
 
<math>sec^2(y)=1+tg^2(y)\,\!</math>
 
<math>sec^2(y)=1+x^2\,\!</math>
 
O que nos dá:
 
<math>\frac{dx}{dy}=1+x^2\,\!</math>,
 
Logo:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}\,\!</math>
 
Ainda temos que a função <math>z=arccotg(x)\,\!</math>, sendo a sua inversa:
 
<math>x=cotg(z)\,\!</math>.
 
Por outro lado:
 
<math>arccotg(z)=\frac{\pi}{2} - arctg(z)\,\!</math>
 
O que nos dá:
 
<math>\frac{dz}{dx}=0-\frac{d[arctg(z)]}{dx}\,\!</math>,
 
Logo:
 
<math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}\,\!</math>
 
==== Integrais da arctangente e arccotangente ====