Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões

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Linha 654:
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:
 
<math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,\!</math>
 
ou
 
<math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)}\,\!</math>
 
A secante hiperbólica é definida como:
 
<math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}\,\!</math>
 
ou
 
<math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}\,\!</math>
 
==== Relacionando tangente e secante hiperbólicas ====
Linha 672:
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
 
<math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)\,\!</math>
 
<math>1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 \,\!</math>
 
<math>1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2}{e^{2x} + e^{-2x} + 2} \,\!</math>
 
<math>\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{e^{2x} + e^{-2x} + 2} \,\!</math>
 
<math>\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} \,\!</math>
 
<math>\frac{1}{\cosh^2(x)}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)=\ \mbox{sech}^2(x)\,\!</math>
 
==== Derivada da tangente hiperbólica ====
 
Seja a função <math>y=\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \cosh^2(x) \right) - \left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}{\left( \cosh^2(x) \right)}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh^2(x)}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{sech}^2(x)\,\!</math>
 
==== Derivada da secante hiperbólica ====
Linha 708:
Seja a função <math>y=\ \mbox{sech}(x)</math>, temos:
 
<math>y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} + e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x} }\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{sech}(x)\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>
 
==== Integral da tangente hiperbólica ====
 
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>F(x)=\int \frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)} dx\,\!</math>
 
Se fizermos:
 
<math>u=\cosh(x)\,\!</math>
 
<math>du=\ \mbox{senh}(x)dx\,\!</math>
 
verificamos:
 
<math>F(x)=\int \frac{du}{u}\,\!</math>
 
<math>F(x)=\ln |u|\,\!</math>
 
e finalmente: