Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões

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Linha 748:
A cotangente hiperbólica é definida como:
 
<math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
 
ou
 
<math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)}\,\!</math>
 
A cosecante hiperbólica é definida como:
 
<math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{2}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
 
ou
 
<math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{1}{\ \mbox{senh}(x)}\,\!</math>
 
==== Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas ====
Linha 766:
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
 
<math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)\,\!</math>
 
<math>1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2 \,\!</math>
 
<math>1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2}{e^{2x} + e^{-2x} - 2} \,\!</math>
 
<math>\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} - 4}{e^{2x} + e^{-2x} - 2} \,\!</math>
 
<math>-\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} \,\!</math>
 
<math>-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)=\ \mbox{cosech}^2(x)\,\!</math>
 
==== Derivada da cotangente hiperbólica ====
 
Seja a função <math>y=\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}^2(x)\,\!</math>
 
==== Derivada da cossecante hiperbólica ====
 
Seja a função <math>y=\ \mbox{cosech}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} - e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x} }\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}(x)\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>
 
==== Integral da cotangente hiperbólica ====
 
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>F(x)=\int \frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)} dx\,\!</math>
 
Se fizermos:
 
<math>u=\ \mbox{senh}(x)\,\!</math>
 
<math>du=\cosh(x)dx\,\!</math>
 
verificamos:
 
<math>F(x)=\int \frac{du}{u}\,\!</math>
 
<math>F(x)=\ln |u|\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>F(x)=\ln |\ \mbox{senh}(x)| + C \,\!</math>
 
==== Integral da cossecante hiperbólica ====