Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões

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Linha 860:
Agora consideremos a função '''<math>t=\ \mbox{senh}(x)</math>''', então:
 
<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}\,\!</math>
 
Podemos fazer <math>e^{x}=u\,\!</math>, logo:
 
<math>t=\frac{u - u^{-1}}{2}\,\!</math>
 
O que resulta na equação:
 
<math>u^2-2tu-1=0\,\!</math>
 
cujas raízes são:
 
<math>u=t \pm \sqrt{t^2 +1}\,\!</math>
 
Podemos apenas admitir: <math>u>0\,\!</math>, consequentemente:
 
<math>e^x = t+ \sqrt{t^2 + 1}\,\!</math>
 
Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>senh(x)\,\!</math> que é:
 
<math>\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|\,\!</math>
 
No caso de '''<math>t=\cosh(x) \,\!</math>''', a dedução é similar:
 
<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}\,\!</math>
 
Podemos fazer <math>e^{x}=u\,\!</math>, logo:
 
<math>t=\frac{u + u^{-1}}{2}\,\!</math>
 
O que resulta na equação:
 
<math>u^2-2tu+1=0\,\!</math>
 
cujas raízes são:
 
<math>u=t \pm \sqrt{t^2 -1}\,\!</math>
 
Podemos apenas admitir: <math>u>0\,\!</math>, consequentemente:
 
<math>e^x = t+ \sqrt{t^2 - 1}\,\!</math>
 
Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>cosh(x)</math> que é:
 
<math>\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
 
==== Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x) ====
Linha 910:
Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:
 
'''<math>y=\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|\,\!</math>'''
 
de onde deduzimos:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2+1}} \right)\,\!</math>
 
resultando:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,\!</math>
 
----
 
E para '''<math>y=\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|\,\!</math>'''
 
de onde deduzimos:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \right)\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2-1}} \right)\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
 
==== Integrais de argsenh(x) e argcosh(x) ====