Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões
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=== argtgh e argsech ===
Considerando '''<math>t=\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>''', temos:
<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,\!</math>
se <math>u=e^x\,\!</math>:
<math>t=\frac{u - u^{-1}}{u + u^{-1}}\,\!</math>
o que resulta na equação:
<math>(t-1)u^2 + t + 1 = 0\,\!</math>
cujas raízes são:
<math>u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\,\!</math>
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 \,\!</math> e <math> t < 1 \,\!</math>:
<math>e^x = \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\,\!</math>
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':
<math>y = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\,\!</math>
Que é a inversa da <math>\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>, portanto:
<math>\ \mbox{argtgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\,\!</math>, <math> |x|<1 \,\!</math>
Ou,
<math>\ \mbox{argtgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{1+x}{1-x}}\,\!</math>, <math> |x|<1 \,\!</math>
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Considerando '''<math>t=\ \mbox{sech}(x)\,\!</math>''', temos:
<math>t=\frac{2}{e^x + e^{-x}}\,\!</math>
se <math>u=e^x\,\!</math>:
<math>t=\frac{2}{u + u^{-1}}\,\!</math>
o que resulta na equação:
<math>tu^2 - 2u + t = 0\,\!</math>
Cujas raízes são:
<math>u=\frac{1 \pm \sqrt{1-t^2}}{t}\,\!</math>
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 \,\!</math> e <math>0 < t < 1 \,\!</math>:
<math>e^x=\frac{1 - \sqrt{1-t^2}}{t}\,\!</math>
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':
<math>y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|\,\!</math>
Que é a inversa da <math>sech(x)\,\!</math>, portanto:
<math>\ \mbox{argsech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|\,\!</math>, <math>0 < x < 1 \,\!</math>
==== Derivadas de argtgh e argsech ====
Seja '''<math>y = \ \mbox{argtgh}(x)\,\!</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}\,\!</math>, <math>|x|<1</math>
Deduzimos que sua derivada é:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argtgh}(x)]}{dx}\,\!</math>
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{1-x - (1+x)(-1)}{(1-x)^2}\right]\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{2}{(1-x)^2}\right]\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(1+x)(1-x)} \right] \,\!</math>
e, finalmente:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} \,\!</math>, <math>|x|<1\,\!</math>
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
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Seja '''<math>y = \ \mbox{argsech}(x)\,\!</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|\,\!</math>,
Deduzimos que sua derivada é:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argsenh}(x)]}{dx}\,\!</math>
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left[ \frac{x \frac{-(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}-\left(1-\sqrt{1-x^2} \right)}{x^2}\right]\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{x^2 - \sqrt{1-x^2} + 1 - x^2}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)\,\!</math>
e, finalmente:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}\,\!</math>
==== Integrais de argtgh e argsech ====
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