Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões
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=== argcotgh e argcosech ===
Considerando '''<math>t=\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>''', temos:
<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
se <math>u=e^x\,\!</math>:
<math>t=\frac{u + u^{-1}}{u - u^{-1}}\,\!</math>
o que resulta na equação:
<math>(1-t)u^2 - t - 1 = 0\,\!</math>
cujas raízes são:
<math>u= \pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}\,\!</math>
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 \,\!</math> e <math> t < 1 \,\!</math>:
<math>e^x = \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}\,\!</math>
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':
<math>y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,\!</math>
Que é a inversa da <math>\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>, portanto:
<math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
Ou,
<math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{x+1}{x-1}}\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
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Considerando '''<math>t=\ \mbox{cosech}(x)\,\!</math>''', temos:
<math>t=\frac{2}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
se <math>u=e^x\,\!</math>:
<math>t=\frac{2}{u - u^{-1}}\,\!</math>
o que resulta na equação:
<math>tu^2 - 2u - t = 0\,\!</math>
Cujas raízes são:
<math>u=\frac{1 \pm \sqrt{1+t^2}}{t}\,\!</math>
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 \,\!</math>:
<math>e^x=\frac{1 - \sqrt{1+t^2}}{t}\,\!</math>
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':
<math>y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|\,\!</math>
Que é a inversa da <math>cosech(x)</math>, portanto:
<math>\ \mbox{argcosech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|\,\!</math>
==== Derivadas de argcotgh e argcosech ====
Seja '''<math>y = \ \mbox{argcotgh}(x)\,\!</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{x-1}{x+1}\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
Deduzimos que sua derivada é:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argcotgh}(x)]}{dx}\,\!</math>
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}\right]\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{2}{(x+1)^2}\right]\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right] \,\!</math>
e, finalmente:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} \,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
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Seja '''<math>y = \ \mbox{argcosech}(x)\,\!</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|\,\!</math>,
Deduzimos que sua derivada é:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argcosh}(x)]}{dx}\,\!</math>
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left[ \frac{x \frac{-2x}{2\sqrt{1+x^2}}-\left(1-\sqrt{1+x^2} \right)}{x^2}\right]\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{-x^2 - \sqrt{1+x^2} + 1 + x^2}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)\,\!</math>
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)\,\!</math>
e, finalmente:
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x| \sqrt{1+x^2}}\,\!</math>, <math>x \ne 0 \,\!</math>
==== Integrais de argcotgh e argcosech ====
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