Cálculo (Volume 2)/Formas paramétricas: diferenças entre revisões
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Linha 274:
Seja a função <math>f_{xy}(t) \,\!</math> na qual, os valores formam pares de forma que tenhamos: <math>[x(t),y(t)] \,\!</math>, desta forma podemos expressar as diferenciais como:
*<math>\frac{dx}{dt}\,\!</math>
*<math>\frac{dy}{dt}\,\!</math>
*<math>\frac{dy}{dx}\,\!</math>
No plano cartesiano bidimensional: <math>(x,y) \,\!</math> a derivada que estamos acostumados a usar permanece, porém temos mais duas derivadas das funções que definem <math>x \,\!</math> e <math>y \,\!</math> em relação ao parâmetro <math>t \,\!</math>. Considerando as seguintes condições:
Linha 286:
Então as derivadas das funções que definem cada variável representam taxas de variação de referência, o que nos permite verificar as seguintes condições:
#Se <math>\frac{dx}{dt}=0\,\!</math> em algum ponto da curva, a reta tangente a este ponto é '''vertical''', ou seja, paralela ao eixo <math>y \,\!</math>
#Se <math>\frac{dy}{dt}=0</math> em algum ponto da curva, a reta tangente a este ponto é '''horizontal''', ou seja, paralela ao eixo <math>x \,\!</math>
Linha 295:
Se <math>x(t) \,\!</math> e <math>y(t) \,\!</math>, são funções que definem uma forma paramétrica, sendo que:
<math>y\ '(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}\,\!</math>
e
<math>x\ '(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\,\!</math>
temos:
<math>\frac{y\ '(t)}{x\ '(t)}=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} \cdot \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta t}{\Delta x}\,\!</math>
uma vez que <math>x \,\!</math> depende de <math>t \,\!</math>:
<math>\frac{y\ '(t)}{x\ '(t)}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\,\!</math>
Ou seja:
<math>\frac{y\ '(t)}{x\ '(t)}=\frac{dy}{dx}\,\!</math>
==== Derivadas segundas ====
Linha 317:
As derivadas de segunda órdem são conseguidas de forma um pouco mais trabalhosa, uma vez que queremos obter:
<math>f\ ''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}\,\!</math>
Temos que difernciar a derivada primeira em relação a <math>t \,\!</math> e depois dividí-la pela derivada de <math>x \,\!</math> em relação a <math>t \,\!</math>. Pois:
<math>\frac{y\ ''(t)}{x\ '(t) \cdot x\ '(t)}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}{\Delta x}\,\!</math>
Que é:
<math>\frac{y\ ''(t)}{x\ '(t) \cdot x\ '(t)}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\frac{\Delta \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}\,\!</math>
Ou seja:
<math>y\ ''(x)=\frac{\frac{d \left(\frac{d y}{d x}\right)}{d t}}{\frac{d x}{d t}}\,\!</math>
Como já explicamos, definimos a derivada primeira depois calculamos a derivada desta em relação a <math>t \,\!</math> dividindo-a em seguida pela derivada de <math>x \,\!</math> em relação a <math>t \,\!</math>
Linha 361:
Consideremos a função paramétrica definida pelas equações:
*<math>x=t \left(t^2 - 2\right)\,\!</math>
*<math>y=2 \left(t^2 - 1\right)\,\!</math>
As derivadas das equações em relação ao parâmetro são:
Linha 382:
Antes de tudo devemos encontrar as raízes destas equações, tanto para as equações das variáveis como para as equações das derivadas, depois que tivermos conhecimento dos pontos onde as mudanças de sinais ocorrem para cada equação teremos uma idéia do esboço a ser feito, façamos:
<math>x=t \left(t^2 - 2\right)=0\,\!</math>
Onde, neste caso, temos:
Linha 390:
ou
<math>\left(t^2 - 2\right)=0\,\!</math>
<math>t= \pm \sqrt{2} \,\!</math>
Linha 401:
Nas ordenadas:
<math>y=2 \left(t^2 - 1\right)=0\,\!</math>
<math>t= \pm 1 \,\!</math>
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