Teoria de números/Divisibilidade: diferenças entre revisões
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Linha 21:
|width="80px"| 3
|width="80px"| 4
|width="80px"| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}\ldots
|-
|<math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}-1-1</math>
Linha 30:
|<math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}(1+1)+1</math>
|<math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}(1+1)+(1+1)</math>
|<math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}\ldots
|}
</center>
Linha 57:
|width="80px"| 11
|width="80px"| 12
|width="80px"| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}\ldots
|-
| bloco básico
| bloco básico
| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}2\cdot 2
| bloco básico
| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}2\cdot 3
| bloco básico
| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}(2\cdot 2)\cdot 2
| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}3\cdot 3
| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}2\cdot 5
| bloco básico
| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}(2\cdot 2)\cdot 3
| <math>\definecolor{cinza}{RGB}{249,249,249}\pagecolor{cinza}\ldots
|}
</center>
Linha 84:
{{Definição
|Dados os inteiros <math>a
}}
O conceito apresentado acima define uma [[w:relação binária|relação binária]] no conjunto dos números inteiros: a ''divisibilidade''.
Lembre-se que uma relação binária sobre <math>\mathbb{Z}
:<math>R=\{(a,b) | a \mbox{ divide } b \}
Nesses termos, quando <math>(a,b) \in R</math> costuma-se dizer que ''<math>a
== Propriedades da divisibilidade ==
Linha 100:
:{| border="0"
|-
|1. <math>a|a
|-
|2. <math>a|b
|-
|3. <math>a|b
|-
|4. <math>c|a
|-
|5. <math>a|b
|-
|6. <math>a|b
|-
|7. <math>ac|bc
|-
|8. <math>1|a
|-
|9. <math>a|0
|-
|10. <math>0|a
|-
|11. <math>a|1
|-
|12. <math>a|b
|-
|13. <math>a|b
|}
{{Demonstração|A demonstração dessas propriedades é deixada a cargo do leitor. Deste modo, sinta-se convidado a melhorar este texto {{#ifeq:{{SUBPAGENAME}}|Imprimir
Linha 136:
* Frequentemente é mais prático trabalhar apenas com o conjunto dos números naturais <math>\mathbb{N}</math> (o subconjunto dos inteiros não-negativos <math>\mathbb{Z}_+</math>) ou com os números naturais não nulos <math>\mathbb{N}^*</math> (os inteiros positivos <math>\mathbb{Z}_+^*</math>).
* As propriedades 1 e 8 garantem que todo número inteiro não negativo <math>a</math>, diferente de <math>1</math>, possui ao menos dois divisores, chamados de '''divisores triviais''': <math>1
== Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal ==
Linha 243:
{{Teorema
|Se <math>a
:<math>a = bq+r
}}
Uma formulação alternativa é a seguinte:
''Dados os números inteiros <math>a
{{Wikipedia|Princípio da boa ordenação}}
{{Demonstração
|Considere inicialmente que <math>a>0
Se <math>X = \{ a-bt: t\in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{Z}
Logo, pelo ''princípio da boa ordenação'', <math>X'
Como <math>r \in X'
Suponha que <math>0<b
:De fato, se ocorresse <math>r\ge b
:Além disso, <math>0\le r'
Por outro lado, se <math>b\le 0
:<math>a = (-b)q+r = b(-q)+r
Quanto à unicidade do quociente e do resto, pode-se proceder da seguinte maneira:
Seja <math>a = mq+r = mq'+r'
:<math>0 = m(q-q') + (r-r')
Por outro lado, como o valor de cada resto está entre <math>0
:<math>r'-r\le r' < m
:<math>r-r'\le r < m
Logo,
:<math>|r'-r| < m
Mas o único elemento de <math>m\mathbb{Z}
Consequentemente, de <math>mq+r = mq'+r'
}}
Linha 286:
Conforme é ensinado nos primeiros anos de escola, um número como 726 representa a soma de 7 centenas com 2 dezenas e 6 unidades, ou seja,
:<math>726 = \mathbf{7}\cdot 100 + \mathbf{2}\cdot 10 + \mathbf{6}\cdot 1
Em geral, cada número inteiro não negativo possui uma única representação decimal <math>a_n \ldots a_2 a_1 a_0
Dada a importância do sistema de numeração decimal, é justo enunciar e justificar precisamente o seu funcionamento. Isso é feito no próximo teorema, que garante a existência de representações posicionais em qualquer base, não apenas na base 10.
{{Teorema
|Dado um numero inteiro <math>b
:<math>a = a_n \cdot b^n + a_{n-1} \cdot b^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot b + a_0
de modo que cada inteiro <math>a_i
}}
{{Demonstração/Início}}
Utilizando o algoritmo da divisão é possível obter cada dígito de uma tal representação, um após o outro, começando pelo dígito das unidades. De fato, ao dividir o número em questão pelo valor da base, consegue-se:
:<math>a = q_0 b + a_0
Fazendo o mesmo com <math>q_0
:<math>q_0 = q_1 b + a_1
Repetindo o procedimento com cada quociente <math>q_i
:<math>a > q_0 > q_1 > q_2 > \ldots
Certamente algum termo da sequência deve ser igual a unidade, pois todos são números inteiros e nenhum deles é negativo. Então considere que <math>q_n = 1
:{|
|-
|<math>a
|<math>= q_0 b + a_0
|
|-
|
|<math>=(q_1 b + a_1)b + a_0
|<math>=q_1\cdot b^2 + a_1\cdot b^1 + a_0
|-
|
|<math>=((q_2 b + a_2) b + a_1)b + a_0
|<math>=q_2\cdot b^3 + a_2\cdot b^2 + a_1\cdot b^1 + a_0
|-
|
|<math>\vdots
|
|-
|
|<math>=(( ??? ) b + a_1)b + a_0
|<math>=a_n\cdot b^n + \ldots + a_2\cdot b^2 + a_1\cdot b^1 + a_0
|}
{{esboço}}
Linha 335:
=== Observações ===
* Quando a base não é 10, é comum usar a notação <math>(a_n \ldots a_2 a_1 a_0)_b
* Os sistemas que utilizam a base 2 ([[w:Sistema binário (matemática)|binário]]), a base 8 ([[w:Sistema octal|octal]]) e a base 16 ([[w:Sistema hexadecimal|hexadecimal]]) são particularmente úteis na informática e na eletrônica digital.
* O sistema de numeração com base 60 ([[w:Sistema sexagesimal|sexagesimal]]) foi inventado pelos [[w:Sumérios|Sumérios]], e ainda é utilizado para a contagem de minutos e segundos, tanto para indicar períodos de tempo quanto para medir ângulos.
Linha 349:
}}
{{Demonstração
|Considere um número inteiro positivo cuja representação decimal é <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0
:<math>10 = 2 \times 5
:<math>100 = 2 \times 50
:<math>\ldots
e em geral:
:<math>10^n = 2 \times 5\times 10^{n-1}
Portanto:
:<math>m = a_n 10^n + \ldots + a_2 10^2 + a_1 10 + a_0 = 2 \times ( 5 a_n 10^{n-1} + \ldots + 5 a_2 10^1 + 5 a_1 ) + a_0
Assim,
:<math>m = 2 k + a_0
Deste modo, se <math>2|m
Reciprocamente, se <math>2|a_0
}}
Linha 379:
}}
{{Demonstração
|Seja <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k
Primeiramente, note que:
:<math>10^k = \underbrace{ 9 \ldots 99 }_{k-1} + 1 = 3 \times \underbrace{ 3 \ldots 33 }_{k-1} + 1 = 3 T_{k-1} + 1
onde <math>T_k = \underbrace{ 3 \ldots 33 }_{k} = 3\times \sum_{i=0}^{k-1} 10^i
Substituindo essas potências de 10, obtem-se:
:<math>m = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k = \sum_{k=0}^{n} a_k (3 T_{k-1} + 1) = \sum_{k=0}^{n} 3 a_k T_{k-1} + a_k = 3 \sum_{k=0}^{n} a_k T_{k-1} + \sum_{k=0}^{n} a_k
ou seja,
:<math>m = 3 T + S
Deste modo, se <math>3|m
Analogamente, se <math>3|S
}}
Linha 403:
}}
{{Demonstração
|Como antes, considere <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k
:<math>10^0 = 11\times 0 + 1
:<math>10^1 = 11\times 1 - 1
:<math>10^2 = 11\times 9 + 1
:<math>10^3 = 11\times 91 - 1
:<math>10^4 = 11\times 909 + 1
É razoável esperar que o padrão continue, ou seja, que nas potências pares se tenha <math>10^k = 11\times B_k + 1
No entanto, como a intuição as vezes falha (o próprio Fermat foi vítima de sua intuição, se enganando ao afirmar que todo [[w:Número de Fermat|número da forma <math>F_{n} = 2^{2^{n}} + 1</math>]] é [[../Números primos#Definição de número primo|primo]]), é necessário provar que o padrão se repete, qualquer que seja o expoente. Em símbolos, é preciso mostrar que:
:<math>10^k = 11\times B_k + (-1)^k
Para tal usaremos o {{w|Binómio de Newton|binómio de Newton}}:
:<math>10^k=(11-1)^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i}11^i(-1)^{k-i} = (-1)^k+11(-1)^{k-1}+ 11^2\frac{k!}{2!(k-2)!}(-1)^{k-2}+\ldots+11^k=</math>
Linha 420:
Uma vez que o padrão está justificado, o raciocínio é o mesmo do caso anterior:
:<math>m = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k = \sum_{k=0}^{n} a_k (11\times B_k + (-1)^k) = \sum_{k=0}^{n} 11 a_k B_k + a_k(-1)^k = 11 \sum_{k=0}^{n} a_k B_k + \sum_{k=0}^{n} a_k(-1)^k
ou seja,
:<math>m = 3 B + A
Deste modo, se <math>11|m
Analogamente, se <math>11|A
}}
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