Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade: diferenças entre revisões
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Linha 11:
Figura 1
O gráfico representa a função <math>f: \! \mathbb{R}\ \! \smallsetminus \! \{ 6 \} \to \mathbb{R}\
<math> y = f(x) \ =\ \frac{(x\ -\ 4)(x\ -\ 6)}{2(x\ -\ 6)}
Esta função não está definida para <math> x\ =\ 6
<center>
{| class="wikitable"
|-
! <math>x
| 5,5 || 5,8 || 5,99 || 6 || 6,05 || 6,2 || 6,5
|-
! <math>y=f(x)
| 0,75 || 0,9 || 0,995 || <math>\mathcal{6}\exists
|}
</center>
Se fizermos <math>x\ =\ 5,5
temos <math> y\ =\ 0,75
portanto quando nós aproximamos <math>x
Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos <math>x\ =\ 6,5
teremos <math>y\ =\ 1,1
O que isto quer dizer?
Acontece que, quando ''aproximamos'' <math>x
Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação:
<center>
<math>\lim_{x\to 6}f(x)\ =\ 1
</center>
Linha 44:
Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos?
Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a [[w:Distância|distância]] entre dois números reais é dada pela fórmula [[w:Métrica (matemática)#Exemplos|<math>d(a,b)=|a-b|
* Se <math>\delta
* Se diminuimos gradativamente o valor de <math>\epsilon
Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de <math>x
===Analisando as condições===
Linha 55:
{{Aprimoramento|Remover esta seção "Analisando as condições"|Limites}}
Seja a função <math>f(x)
Sendo <math>f(x)
<math>\left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon
Ao tomarmos um subintervalo em <math>f(x)
<math>0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta
Devemos ter o cuidado de observar que a afirmativa acima exige que o valor da diferença não seja nulo, caso contrário a relação de correspondência dos valores na função e no domínio não existiria.
Caso as condições acima sejam satisfeitas e a relação entre os valores seja possível, dizemos que <math>L
===Definição===
Linha 71:
Adotamos a notação
<center>
<math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L
</center>
para dizer que a função possui a seguinte propriedade:
<div style="border:1px dashed #2f6fab; text-align:center; width:100%; background:#f9f9f9; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px;">
<math> \forall \epsilon >0,\quad \exists \delta >0 \quad | \quad \forall x \in D_f,\quad 0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta \qquad \Rightarrow \qquad \left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon
</div>
De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas:
* <math>L
* <math>f(x)
ou com símbolos:
* <math>f(x) \to L
* <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L
'''Observação'''
Para aqueles que também se interessam por [[lógica]] e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do [[Lógica: Cálculo Quantificacional Clássico|cálculo quantificacional clássico]]. Assim, dado <math>a\ \in\ \R
<math>\exists L\ \forall \epsilon \ (\epsilon >0\ \rightarrow \ \exists \delta \ (\ \delta >0\ \land \ \forall x\ (\ x \in D_f \ \land \ 0<|x-a|\ \land \ |x-a|<\delta \ \rightarrow \ \left |f(x)-L\right|<\epsilon )))
===Propriedades===
Linha 108:
|título=Unicidade
|texto=
Seja uma função real <math>f(x)
|fórmula=
Se <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1
}}
'''Demonstração:'''
Proponhamos que <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1
Logo, pela definição de limite, teremos que admitir que para cada <math>\epsilon >0
<math>|f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon
Além disso, existe <math>{\delta}_2
<math>|f(x)\ -\ L_2|\ <\ \epsilon
Como <math>L_1
Da desigualdade triangular:
<math>|L_1\ -\ L_2|\ =\ |(\ L_1-f(x))\ +\ (f(x)-L_2)|\le \ |f(x)\ -\ L_1|\ +\ |f(x)\ -\ L_2|
Se tivermos um <math>\delta <min({\delta_1},{\delta_2})
<math> |f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon
<math> |f(x)\ -\ L_2|\ <\ \epsilon
Teremos em consequência que:
<math> |L_1\ -\ L_2|\ <\ 2\epsilon
Como podemos arbitrar <math> \epsilon
<math>|L_1\ -\ L_2|\ <\ |L_1\ -\ L_2|
Mas isto é contraditório, portanto <math> L_1\ =\ L_2
====T2 - (Soma e diferença)====
Linha 151:
|título=Limites da soma e da diferença
|texto=
Sejam duas funções <math>f(x)
|fórmula=
<math>\lim_{x\to a}\left(f(x)\ \pm\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \pm \lim_{x\to a}g(x)
}}
Linha 160:
Faremos a demonstração apenas para o caso da soma de funções, deixando a cargo do leitor verificar que a propriedade análoga para a diferença de funções pode ser provada de forma parecida.
Tomando <math>\lim_{x\to a}f(x)=A
Dado qualquer <math>\epsilon
Posto que existem os limites de <math>f(x)
* <math>|f(x)-A|\ <\ k
* <math>|g(x)-B|\ <\ p
e pela desigualdade triangular:
<math>|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ \le\ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\
Então, ao arbitrar <math>\epsilon \ =\ p+k \ >\ 0
<math>|f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ <\ k+p\ =\ \epsilon
<math>|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon
=====Observação=====
Ao provar a propriedade para a diferença de funções, a principal mudança é no passo onde é utilizada a [[w:desigualdade triangular|desigualdade triangular]]. Em tal caso, deveriamos observar que:
<math>|f(x)-g(x)\ -\ (A-B)|\ = \ |f(x)-A\ +\ (-g(x)+B)|\ \le\ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\
====T3 - (Produto)====
Linha 190:
|título= Limite do produto de duas funções
|texto=
Se existem os limites das funções <math>f(x)
|fórmula=
<math>\lim_{x\to a}\left(f(x)\ \cdot\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \cdot \lim_{x\to a}g(x)
}}
'''Demonstração:'''
Consideremos que <math>\lim_{x\to a}f(x)=L
Queremos verificar se para cada <math>\epsilon
<math>\left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon
Considerando que existem os limites <math>\lim_{x\to a}f(x)
* <math>|f(x)-L|\ <\ 1
do que podemos concluir que, para estes valores de <math>x
Mas para qualquer <math>\epsilon \ =\ p+k
* <math>|g(x)-M|\ <\ \frac{p}{|L|-1}
* <math>|f(x)-L|\ <\ \frac{k}{|M|+1}
Então, se <math>\delta \ <\ \{\delta_1, \delta_2, \delta_3\}
Vamos então trabalhar com a expressão <math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|
Primeiramente, observe que
<math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ = |f(x)\cdot (g(x)-M)\ +\ M\cdot (f(x)-L)|
Usando a desigualdade triangular nesta última expressão, e observando que <math>|M|<|M|+1
<math>|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ \le |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|
Aplicando as desigualdades '''(1)''', '''(2)''' e '''(3)''', resulta <math>|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ |f(x)|\cdot \frac{p}{|L|-1}\ +\ (|M|+1)\cdot \frac{k}{|M|+1}
Como <math>\frac{f(x)}{|L|-1}<1
<math>|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ p+k
Portanto, <math>\left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon
====T4 - (Razão)====
Linha 235:
|título=Limite da razão de duas funções
|texto=
Se existem os limites das funções <math>f(x)
|fórmula=
<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\ =\ \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}
}}
'''Demonstração:'''
Seja <math>\lim_{x\to a}g(x)=M \ne 0
Queremos verificar se para cada <math>\epsilon
<math>\left| \frac{1}{g(x)}\ -\ \frac{1}{M} \right|\ <\ \epsilon
Mas esta expressão pode ser reescrita como:
<math>\left| \frac{M - g(x)}{M g(x)} \right|\ < \epsilon
A ideia agora é mostrar que, na fração acima, temos que o denominador é um número não muito pequeno, enquanto que o numerador é um número pequeno.
Como ''g(x)'' se aproxima de ''M'', vamos forçar o denominador a ser um número maior (em módulo) que <math>\frac{M^2}{2}
* Denominador
Pelo fato de <math>\lim_{x \to a} g(x) = M \ne 0
Mas isto implica, em particular, que <math>\left|g(x)\right| = \left|M - (g(x) - M)\right| \ge \left|M\right| - \left|g(x) - M\right| > \left|M\right| - \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{\left|M\right|}{2}
Portanto, temos que <math>\left|M g(x)\right| = \left|M \right| \ \left|g(x)\right| > \left|M\right| \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{M^2}{2}
* Numerador
É imediato, pela propriedade da subtração de limites, que, como <math>\lim_{x \to a}(M - g(x)) = 0
* Fração
Agora basta tomar <math>\delta = min(\delta_1, \delta_2)
====T5 - (Potência)====
Linha 273:
|título=Limite da função com expoente.
|texto=
Seja a função <math>f(x)
|fórmula=
<math>\lim_{x\to a}(f(x))^n\ =\ \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^n
}}
'''Demonstração:'''
Linha 281:
De fato, para cada número natural <math>n,</math> temos:
<math>\lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^n =\ \lim_{x \to a} \left( \underbrace{ f(x)\cdot f(x)\cdot \dots \cdot f(x) }_{n \text{ vezes}} \right)
O que, pelo teorema do produto, é igual ao produto dos limites:
<math> \underbrace{ \lim_{x \to a} f(x)\cdot \lim_{x \to a} f(x)\cdot \dots \cdot \lim_{x \to a} f(x)}_{n \text{ vezes}}
E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar.
Linha 294:
|título=Limite da radiciação de uma função.
|texto=
Sejam a função <math>f(x)
|fórmula=
<math>\lim_{x\to a}\sqrt[n]{(f(x))}\ =\ \sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}
}}
Linha 305:
Estas propriedades são verificadas rapidamente a partir da definição.
<math>\lim_{x\to a} c\ =\ c
<math>\lim_{x\to a} x\ =\ a
Além disso, as regras a seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:
<math>\lim_{x\to a}(mx\ +\ b)\ =\ ma\ +\ b
<math>\lim_{x\to a}(mx^n\ +\ px\ +\ \dots \ +\ b)\ =\ (ma^n\ +\ pa\ +\ \dots \ +\ b)
===Limites laterais===
Consideremos a função: <math>f(x) = \sqrt{x-2}
refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo, pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais).
O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função?
Como o seu domínio é apenas <math>[2, \infty)
representando a restrição da seguinte forma: <math> \lim_{x \to a^-}f(x)
No primeiro caso dizemos que o '''limite lateral pela direita''' da função é o valor para o qual a função tende quando <math>x
se aproxima de <math>a
====Limite lateral pela direita====
Dizemos que <math> \lim_{x \to a^+}f(x) = L
<math>\left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad 0\ <\ x\ -\ a\ <\ \delta
====Limite lateral pela esquerda====
Dizemos que <math> \lim_{x \to a^-}f(x) = L
<math>\left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad - \delta \ <\ x\ -\ a\ <\ 0
===Infinitos===
Linha 347:
[[#Breve explanação|No início]] deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas situações novas:
* O que acontece com os valores de <math>f(x)
* O que fazer quando, ao aproximar <math>x
Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de ''limite''. Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o ''infinito'' como se fosse um ''número'', embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Por exemplo, caso a variável <math>x
Considerando uma função definida como:
<math>f(x)=\frac{1}{|x|}
Pensemos na melhor maneira de variar ''x'' para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que <math>|x|
Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar expressões como ''quociente de funções complicadas'' ou ''composição de várias funções'', e assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante.
Linha 363:
{| class="wikitable"
|-
! <math>x
| -2500 || -200 || -10 || -0,5 || -0,002 || -0,000016 || 0 || 0,00008 || 0,0025 || 2,5 || 250|| 4000
|-
! <math>y=f(x)
| 0,0004 || 0,005 || 0,1 || 2 || 500 || 62500 || <math>\mathcal{6}\exists
|}
</center>
Vemos que ao aproximar <math>x
Levando em conta a discussão anterior, formalizaremos expressões intuitivas como "os valores da função vão para o infinito", "<math>f(x)
Isto é um exemplo do que chamamos de ''infinito matemático''.
====Tendências infinitas====
Neste ponto, nosso interesse é tratar da possibilidade de <math>f(x)
<math>\lim_{x \to \infty}\ \frac{1}{|x|}\ =\ 0
Isso se justifica, pois os valores de <math>f(x)
Este é um conceito importantíssimo na análise, no cálculo e em diversos campos das ciências exatas. Iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Para isso, considere a função <math>f(x)\ =\ \frac{x^2-2}{x^2-1}
Fazendo sucessivas aproximações vemos que:
<math>x=1,5 \Rightarrow\quad f(x)=(0,2)
<math>x=2,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,809523)
<math>x=3,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,911111)
<math>x=5,0\Rightarrow \quad f(x)=(0,985333)
<math>x=10\Rightarrow \quad f(x)=(0,989898)
<math>x=100\Rightarrow \quad f(x)=(0,999899)
De fato temos uma ''tendência'' do valor da função se igualar a 1 quando levamos <math>x
Podemos simbolizar a tendência de <math>f(x)
<math>\lim_{x \to + \infty}f(x)
ou
<math>\lim_{x \to \infty^+}f(x)
O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente tende ao infinito negativo (<math>- \infty
<math>\lim_{x \to - \infty}f(x)
ou
<math>\lim_{x \to \infty^-}f(x)
A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de forma rigorosa as ''têndências infinitas'' e os ''limites infinitos''.
Linha 421:
'''Definição'''
Chamamos o número <math>L
<math> \forall \epsilon >0,\quad \exists N>0 \quad
Ou seja, <math>L
Do mesmo modo, chamamos o número <math>L
<math> \forall \epsilon >0,\quad \exists N<0 \quad
Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função, que portanto deve necessariamente ser ilimitado.
Linha 438:
Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível colocar qualquer valor.
Adotamos <math> + \infty
==Continuidade==
Linha 451:
'''Definição: (função contínua em um ponto)'''
Se <math>f(x)
|}
Para exprimir em símbolos que uma função <math>f(x)
<math> \forall \; \epsilon > 0, \; \exists \; \delta > 0 \; \quad|\quad \forall \; x \in D_f, |x-a| < \delta \implies |f(x)-f(a)| < \epsilon
Isto significa que:
* <math>\exists \; \lim_{x \rightarrow c} f(x)
* <math>\exists f(a)
* <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a)
Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.
Linha 468:
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|texto=
;Exemplos:
# Considere a função <math>f
\frac{x^2-1}{x-1}, & \mbox{se } x \ne 1 \\
2 , & \mbox{se } x = 1
\end{cases}
Tem-se:
* <math> \lim_{x \to 1}f(x) \; \exists \;\Leftrightarrow \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}
* <math> f(1)=2
* <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a)
}}
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