Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas: diferenças entre revisões
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A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total ''"x"'' de porções ''"T"'' em ''"n"'' recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:
<math> T= \frac{x}{n}
A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes ''"n"'' e calculássemos o valor de ''"x"'', mantendo ''"T"'' constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa ''"T"'' é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.
Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial <math>S_i
<math> V_m = \frac{S_f-S_i}{t_f-t_i}
ou
<math> V_m = \frac{\Delta S}{\Delta t}
Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de <math> \Delta t
<math> v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}
Isto não nos lembra algo conhecido?
Linha 38:
A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função ''"s"'' em função do tempo, depois podemos obter a derivada de ''"s"'' com relação a ''"t"'' e teremos:
<math> v= s\ '(t) = \frac{\mbox{d}s}{\mbox{d}t}
Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função <math> s(t)
Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:
<math> a=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta v}{\Delta t}
O que nos dá a aceleração instantãnea:
<math> a = \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t}
ou
<math> a = \frac{\mbox{d}^2 s}{\mbox{d}t^2}
Note que ao derivarmos a função <math>s(t)
<math> a = s\ ''(t)= \frac{\mbox{d}^2 s}{\mbox{d}t^2}
Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.
Linha 84:
Ou seja:
<math>f(x)
<math>f\ '(c)=0
<math>f\ '(c) \not \exists
====T15 - Valor extremo====
Linha 94:
|título=O valor extremo de uma função num intervalo
|texto=
Considere agora que existe um número ''c'', de forma que <math> {c} \in [a,b]
<center>
Se <math> f(c) \ge f(x)
ou
Se <math> f(c)\le f(x)
então:
</center>
|fórmula=<math> f\ '(c)=0
}}
Linha 111:
Vejamos a demonstração algébrica do teorema:
Seja os números <math> \alpha \ <\ {c}\ < \ \beta
<math>f\ '(c)=\lim_{\alpha \to c^-} \frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c} >0
e da mesma forma:
<math>f\ '(c)=\lim_{\beta \to c^+} \frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c} <0
O que nos leva a concluir que:
<math> 0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha) \ <\ f(c)\quad \and \quad f(\beta)\ < \ f(c)
Por outro lado se <math> f(c)
<math>f\ '(c)=\lim_{\alpha \to c^-} \frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c} <0
e da mesma forma:
<math>f\ '(c)=\lim_{\beta \to c^+} \frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c} >0
O que nos leva a concluir que:
<math> 0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha) \ >\ f(c)\quad \and \quad f(\beta)\ > \ f(c)
Logo em ambos os casos o limite que nos dá a derivada da função em ''c'' tem valor '''nulo'''.
Linha 153:
|texto=
Considerando uma função <math>f(x)</math> e um intervalo fechado <math>[a,b]</math>, obedecendo as seguintes condições:
''I'' - <math>f(x)
''II'' - <math>f(x)
''III'' - <math>f(x)
''IV'' - <math>f(a)=f(b)=0
Então é possível provar que existe pelo menos um número ''c'' no intervalo tal que:
|fórmula=<math>f\ '(c)=0
}}
Linha 171:
===T17 - Teorema do valor médio para derivadas===
Tomemos dois números em um intervalo fechado <math>[a,b]
A explicação deste fato é facilmente observada no gráfico de qualquer função contínua em um dado intervalo, uma vez que a curva não apresenta rupturas ao longo de seu traçado e entre os pontos há pelo menos uma sinuosidade simples ou uma reta, haverá uma progressão continuada da declividade de um ponto em direção à declividade do outro, neste caso a curva terá sempre que reproduzir valores de declividade de um extremo a outro, de forma que teremos inevitavelmente um ponto cuja reta tangente será paralela a reta definida pelos dois pontos citados.
Linha 180:
|título=O valor médio para derivadas
|texto=
Se <math>f\ '(c)=m
teremos:
|fórmula=
<math>f\ '(c)=m= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
}}
Linha 200:
|título=Teste da derivada primeira
|texto=
Seja a função <math>f(x)
|fórmula=
{{destaque|<math>f\ '(x)>0
Ainda podemos afirmar que, quando a função é decrescente:
{{destaque|<math>f\ '(x)<0
E finalmente, se a função não apresenta tendências, permanecendo inalterada até o limite do ponto:
{{destaque|<math>f\ '(x)=0
}}
É possível provar o teorema, pela análise da definição da função derivada, da seguinte forma:
Se <math>f(x)
<math>f\ '(x)= \lim_{x_b \to x_a} \frac{f(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a}
Admitindo que o denominador é positivo, ou seja, que <math>x_b>x_a
No último caso, se <math>f\ '(x)=0
===T19 - Teste da derivada segunda===
Linha 228:
|título=Teste da derivada segunda
|texto=
Seja a função <math> f(x)
Dado o intervalo <math>[a,b]
|fórmula=
{{destaque|Se <math>f\ ''(x)<0
Ainda poderemos afirmar que:
{{destaque|Se <math>f\ ''(x)>0
}}
'''Análise:'''
Consideremos a derivada segunda <math>f\ ''(x)=\lim_{x_2 \to x_1} \frac {f\ '(x_2)-f\ '(x_1)}{x_2 - x_1}
Tomando o valor de <math>{[(x_2-x_1)>0]}
Se <math>f\ '(x_2)<f\ '(x_1)
Se <math>f\ '(x_2)>f\ '(x_1)
===Concavidades===
Linha 253:
Temos formas côncavas em todo gráfico que apresenta variações, a derivada segunda também pode nos revelar outra característica interessante quando fazemos seu cálculo e a relacionamos à concavidade em um intervalo da curva... Como a derivada segunda reflete a tendência de crescimento ou decréscimo da declividade, temos como verificar que o seu sinal indica se a concavidade do gráfico é para cima ou para baixo, ou seja:
Se <math>f\ ''(x)>0
Devido ao fato de que há uma tendência de crescimento da declividade naquele intervalo.
Se <math>f\ ''(x)<0
Devido ao fato de que há uma tendência de decréscimo da declividade naquele intervalo.
Linha 263:
===Pontos de inflexão===
A inflexão é uma indefinição transitória das tendências da função em um determinado ponto, dizemos que o ponto onde a função passa da condição de tendência ao crescimento para tendência ao decaimento, ou vice versa, é chamado de ponto de inflexão. De forma geral, quando a função passa de uma taxa de variação positiva: <math>f\ '(x)>0
Considerando o número crítico ''c'', para uma função <math>f(x)
<math>f\ ''(x)>0 \to x>c\quad \and \quad f\ ''(x)<0 \to x<c
ou
<math>f\ ''(x)<0 \to x>c\quad \and \quad f\ ''(x)>0 \to x<c
Também é possível demonstrar que:
<math>f\ ''(c)=0
O que torna possível identificar o número crítico do ponto de inflexão a partir da derivada segunda da função.
Linha 288:
[[Imagem:Interseção de cos(2 pi x) e 1.svg|250px|thumb|right]]
Para usar o método da tabela, basta que num plano cartesiano sejam plotados pontos do gráfico da função em pequenos intervalos, unindo-os depois com uma linha "suave". Esboçar um gráfico assim não é muito recomendado se não se sabe com antecedência qual é o comportamento da função, visto que grandes flutuações podem ficar ocultas entre um ponto e outro. Por exemplo, se uma função for periódica (como <math>f(x) = cos(2 \pi x)
Para utilizar o computador ou uma calculadora, além da necessidade de saber como lidar com esse instrumento é necessário que se tenha certeza de que a função a ser esboçada não gerará nenhum {{w|bug}} no instrumento. Valores muito pequenos ou muito altos podem, dependendo do ''software'', criar erros apreciáveis, os quais serão transmitidos para o gráfico a ser construído. Algumas funções podem acabar sem partes do gráfico, já que o programa não calcula a fórmula inserida em uma parte do domínio, mesmo que exista, devido a falhas ou mesmo omissões no código do aplicativo. Sendo assim, antes de usar o método é bom ter conhecimento a respeito do formato do gráfico, até mesmo para evitar erros decorrentes de digitação.
Para se utilizar o cálculo é necessário lembrar dos teoremas já estudados e também de suas implicações. É importante lembrar que os números críticos verificados com o teste da derivada primeira são diferentes dos conseguidos com a derivada segunda, podemos adotar uma notação indexada para identificá-los, assim temos: <math>c_1
Para esboçar o gráfico de uma função desconhecida podemos extrair as raízes e o valor da função quando ''x'' é nula, além disso podemos verificar os pontos em que a função apresenta números críticos, extraindo a derivada primeira, a derivada segunda e resolvendo as equações: <math>f\ '(x)=0
Obviamente, os resultados numéricos em pontos onde não existem números críticos não fornecem precisão para uma avaliação de valores, porém para a análise do comportamento da função e, em alguns casos, na visualização de formas geométricas, este método é bastante útil.
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