Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas: diferenças entre revisões

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Linha 17:
A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total ''"x"'' de porções ''"T"'' em ''"n"'' recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:
 
<math> T= \frac{x}{n} \,\!</math>
 
A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes ''"n"'' e calculássemos o valor de ''"x"'', mantendo ''"T"'' constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa ''"T"'' é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.
 
Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial <math>S_i \,\!</math> e um final <math>S_f \,\!</math>, além de um instante inicial <math>t_i \,\!</math>e um final <math>t_f \,\!</math>, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é:
 
<math> V_m = \frac{S_f-S_i}{t_f-t_i} \,\!</math>
 
ou
 
<math> V_m = \frac{\Delta S}{\Delta t} \,\!</math>
 
Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de <math> \Delta t \,\!</math> se aproxime de zero:
 
<math> v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta S}{\Delta t} \,\!</math>
 
Isto não nos lembra algo conhecido?
Linha 38:
A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função ''"s"'' em função do tempo, depois podemos obter a derivada de ''"s"'' com relação a ''"t"'' e teremos:
 
<math> v= s\ '(t) = \frac{\mbox{d}s}{\mbox{d}t} \,\!</math>
 
Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função <math> s(t) \,\!</math>, todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida.
 
Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:
 
<math> a=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta v}{\Delta t} \,\!</math>
 
O que nos dá a aceleração instantãnea:
 
<math> a = \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t} \,\!</math>
 
ou
 
<math> a = \frac{\mbox{d}^2 s}{\mbox{d}t^2} \,\!</math>
 
Note que ao derivarmos a função <math>s(t) \,\!</math> duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:
 
<math> a = s\ ''(t)= \frac{\mbox{d}^2 s}{\mbox{d}t^2} \,\!</math>
 
Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.
Linha 84:
Ou seja:
 
<math>f(x) \,\!</math> tem derivada <math>f\ '(x) \,\!</math> e ''c'' é um número crítico da função se:
 
<math>f\ '(c)=0 \,\!</math> ou
<math>f\ '(c) \not \exists \,\!</math>
 
====T15 - Valor extremo====
Linha 94:
|título=O valor extremo de uma função num intervalo
|texto=
Considere agora que existe um número ''c'', de forma que <math> {c} \in [a,b] \,\!</math>, que é domínio da função <math> f(x) \,\!</math>, podemos provar que:
<center>
Se <math> f(c) \ge f(x) \,\!</math>
ou
Se <math> f(c)\le f(x) \,\!</math>
então:
</center>
|fórmula=<math> f\ '(c)=0 \,\!</math>
}}
 
Linha 111:
Vejamos a demonstração algébrica do teorema:
 
Seja os números <math> \alpha \ <\ {c}\ < \ \beta \,\!</math>, onde ''c'' é um número crítico do intervalo considerado, inicialmente, observando a derivada de <math> f(c) \,\!</math>, quando este valor é o maior no intervalo:
 
<math>f\ '(c)=\lim_{\alpha \to c^-} \frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c} >0 \,\!</math>
 
e da mesma forma:
 
<math>f\ '(c)=\lim_{\beta \to c^+} \frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c} <0 \,\!</math>
 
O que nos leva a concluir que:
 
<math> 0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha) \ <\ f(c)\quad \and \quad f(\beta)\ < \ f(c) \,\!</math>
 
Por outro lado se <math> f(c) \,\!</math> é o menor valor do intervalo:
 
<math>f\ '(c)=\lim_{\alpha \to c^-} \frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c} <0 \,\!</math>
 
e da mesma forma:
 
<math>f\ '(c)=\lim_{\beta \to c^+} \frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c} >0 \,\!</math>
 
O que nos leva a concluir que:
 
<math> 0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha) \ >\ f(c)\quad \and \quad f(\beta)\ > \ f(c) \,\!</math>
 
Logo em ambos os casos o limite que nos dá a derivada da função em ''c'' tem valor '''nulo'''.
Linha 153:
|texto=
Considerando uma função <math>f(x)</math> e um intervalo fechado <math>[a,b]</math>, obedecendo as seguintes condições:
''I'' - <math>f(x)\,\!</math> é contínua em <math>[a,b]</math>;
''II'' - <math>f(x)\,\!</math> é derivável em <math>(a,b)</math>;
 
''III'' - <math>f(x)\,\!</math> é diferenciavel e subentendida em <math>(a,b)</math>;
 
''IV'' - <math>f(a)=f(b)=0 \,\!</math>
 
Então é possível provar que existe pelo menos um número ''c'' no intervalo tal que:
|fórmula=<math>f\ '(c)=0 \,\!</math>
}}
 
Linha 171:
===T17 - Teorema do valor médio para derivadas===
 
Tomemos dois números em um intervalo fechado <math>[a,b] \,\!</math>, quando uma função <math>f(x) \,\!</math> é contínua neste intervalo temos pelo menos um número ''c'', o qual projeta sobre a imagem da função um valor <math>f(c) \,\!</math> de forma que a sua derivada é igual ao valor da declividade da reta entre os pontos <math>\{[a,f(a)];[b,f(b)]\} \,\!</math>.
 
A explicação deste fato é facilmente observada no gráfico de qualquer função contínua em um dado intervalo, uma vez que a curva não apresenta rupturas ao longo de seu traçado e entre os pontos há pelo menos uma sinuosidade simples ou uma reta, haverá uma progressão continuada da declividade de um ponto em direção à declividade do outro, neste caso a curva terá sempre que reproduzir valores de declividade de um extremo a outro, de forma que teremos inevitavelmente um ponto cuja reta tangente será paralela a reta definida pelos dois pontos citados.
Linha 180:
|título=O valor médio para derivadas
|texto=
Se <math>f\ '(c)=m \,\!</math> onde ''m'' é o coeficiente angular da reta determinada pelos valores <math>{a},{b}\,\!</math> e seus conseqüentes na imagem da função: <math>f(a),f(b) \,\!</math>.
 
teremos:
|fórmula=
<math>f\ '(c)=m= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \,\!</math>
}}
 
Linha 200:
|título=Teste da derivada primeira
|texto=
Seja a função <math>f(x) \,\!</math> em um intervalo <math>[a,b] \,\!</math>, dizemos que a função é crescente quando:
|fórmula=
{{destaque|<math>f\ '(x)>0 \,\!</math>}}
 
Ainda podemos afirmar que, quando a função é decrescente:
 
{{destaque|<math>f\ '(x)<0 \,\!</math>}}
 
E finalmente, se a função não apresenta tendências, permanecendo inalterada até o limite do ponto:
 
{{destaque|<math>f\ '(x)=0 \,\!</math>}}
}}
 
É possível provar o teorema, pela análise da definição da função derivada, da seguinte forma:
 
Se <math>f(x) \,\!</math> é contínua, existe <math>f\ '(x) \,\!</math> tal que:
 
<math>f\ '(x)= \lim_{x_b \to x_a} \frac{f(x_b)-f(x_a)}{x_b-x_a} \,\!</math> onde <math>x_b>x_a \,\!</math>.
 
Admitindo que o denominador é positivo, ou seja, que <math>x_b>x_a \,\!</math> , nos resta analisar o sinal do resultado no numerador, se <math>f(x_b)>f(x_a) \,\!</math> e portanto, quando a função é crescente no intervalo, teremos <math>f\ '(x) >0 \,\!</math>, por outro lado se <math>f(x_b)<f(x_a) \,\!</math> teremos uma função decrescente no intervalo e <math>f\ '(x)<0 \,\!</math>.
 
No último caso, se <math>f\ '(x)=0 \,\!</math> então a reta que passa pelo ponto <math>[x;f(x)] \,\!</math> é paralela ao eixo ''x'', o que indica um extremo ou um ponto de transição na tendência de crescimento da curva; explicando melhor: Se os valores da função estão crescendo e o ponto em questão tem derivada nula, ou a função atinge o maior valor no intervalo, ou atinge um ponto de transição na tendência de crescimento, passando de crescente para decrescente; quando a função está decrescendo passa de decrescente para crescente.
 
===T19 - Teste da derivada segunda===
Linha 228:
|título=Teste da derivada segunda
|texto=
Seja a função <math> f(x) \,\!</math>, dizemos que <math>f\ ''(x) \,\!</math> é a derivada segunda, com a qual podemos provar que:
 
Dado o intervalo <math>[a,b]\,\!</math>, onde existe um número <math>{c}\quad |\quad f\ '(c)=0 \,\!</math>:
|fórmula=
{{destaque|Se <math>f\ ''(x)<0 \,\!</math> então <math>f(c)\,\!</math> fornece o valor máximo no referido intervalo.}}
 
Ainda poderemos afirmar que:
 
{{destaque|Se <math>f\ ''(x)>0 \,\!</math> então <math>f(c)\,\!</math> fornece o valor mínimo no referido intervalo.}}
}}
 
'''Análise:'''
 
Consideremos a derivada segunda <math>f\ ''(x)=\lim_{x_2 \to x_1} \frac {f\ '(x_2)-f\ '(x_1)}{x_2 - x_1} \,\!</math>.
 
Tomando o valor de <math>{[(x_2-x_1)>0]} \,\!</math> podemos verificar o que ocorre com o numerador:
 
Se <math>f\ '(x_2)<f\ '(x_1) \,\!</math> sabemos que a declividade da curva em <math>f(x_2) \,\!</math> é menor que a declividade de <math>f(x_1) \,\!</math>, como em ''c'' temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um máximo, visto que os valores estão diminuindo quando são diferentes de ''c'', ou seja, todos os valores decrescem a medida nos deslocamos no eixo ''x'', portanto <math>f(c) \,\!</math> apenas pode assumir o valor máximo no intervalo.
 
Se <math>f\ '(x_2)>f\ '(x_1) \,\!</math> sabemos que a declividade da curva em <math>f(x_2) \,\!</math> é maior que a declividade de <math>f(x_1) \,\!</math>, como em ''c'' temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um mínimo, visto que os valores estão aumentando quando são diferentes de ''c'', ou seja, todos os valores crescem a medida nos deslocamos no eixo ''x'', portanto <math>f(c) \,\!</math> apenas pode assumir o valor mínimo no intervalo.
 
===Concavidades===
Linha 253:
Temos formas côncavas em todo gráfico que apresenta variações, a derivada segunda também pode nos revelar outra característica interessante quando fazemos seu cálculo e a relacionamos à concavidade em um intervalo da curva... Como a derivada segunda reflete a tendência de crescimento ou decréscimo da declividade, temos como verificar que o seu sinal indica se a concavidade do gráfico é para cima ou para baixo, ou seja:
 
Se <math>f\ ''(x)>0 \,\!</math> a concavidade da curva está voltada para cima.
 
Devido ao fato de que há uma tendência de crescimento da declividade naquele intervalo.
 
Se <math>f\ ''(x)<0 \,\!</math> a concavidade da curva está voltada para baixo.
 
Devido ao fato de que há uma tendência de decréscimo da declividade naquele intervalo.
Linha 263:
===Pontos de inflexão===
 
A inflexão é uma indefinição transitória das tendências da função em um determinado ponto, dizemos que o ponto onde a função passa da condição de tendência ao crescimento para tendência ao decaimento, ou vice versa, é chamado de ponto de inflexão. De forma geral, quando a função passa de uma taxa de variação positiva: <math>f\ '(x)>0 \,\!</math> ou negativa: <math>f\ '(x)<0 \,\!</math> ou vice versa, ela passa por um ponto de inflexão.
 
Considerando o número crítico ''c'', para uma função <math>f(x) \,\!</math>, o ponto de inflexão é definido como aquele onde ocorre a inversão na tendência da declividade, ou seja, quando:
 
<math>f\ ''(x)>0 \to x>c\quad \and \quad f\ ''(x)<0 \to x<c \,\!</math>
ou
<math>f\ ''(x)<0 \to x>c\quad \and \quad f\ ''(x)>0 \to x<c \,\!</math>
 
Também é possível demonstrar que:
 
<math>f\ ''(c)=0 \,\!</math>
 
O que torna possível identificar o número crítico do ponto de inflexão a partir da derivada segunda da função.
Linha 288:
 
[[Imagem:Interseção de cos(2 pi x) e 1.svg|250px|thumb|right]]
Para usar o método da tabela, basta que num plano cartesiano sejam plotados pontos do gráfico da função em pequenos intervalos, unindo-os depois com uma linha "suave". Esboçar um gráfico assim não é muito recomendado se não se sabe com antecedência qual é o comportamento da função, visto que grandes flutuações podem ficar ocultas entre um ponto e outro. Por exemplo, se uma função for periódica (como <math>f(x) = cos(2 \pi x) \,\!</math>, na figura ao lado) e o intervalo entre os valores for próximo ao do período dessa função (no caso, o período da função e o intervalo entre os pontos do domínio é 1), o esboço indicará uma função não periódica (<math>g(x) = 1 \,\!</math>), mas constante, claramente um erro. Por isso quando se utilizar desse método se deve ter cuidado para não se equivocar.
 
Para utilizar o computador ou uma calculadora, além da necessidade de saber como lidar com esse instrumento é necessário que se tenha certeza de que a função a ser esboçada não gerará nenhum {{w|bug}} no instrumento. Valores muito pequenos ou muito altos podem, dependendo do ''software'', criar erros apreciáveis, os quais serão transmitidos para o gráfico a ser construído. Algumas funções podem acabar sem partes do gráfico, já que o programa não calcula a fórmula inserida em uma parte do domínio, mesmo que exista, devido a falhas ou mesmo omissões no código do aplicativo. Sendo assim, antes de usar o método é bom ter conhecimento a respeito do formato do gráfico, até mesmo para evitar erros decorrentes de digitação.
 
Para se utilizar o cálculo é necessário lembrar dos teoremas já estudados e também de suas implicações. É importante lembrar que os números críticos verificados com o teste da derivada primeira são diferentes dos conseguidos com a derivada segunda, podemos adotar uma notação indexada para identificá-los, assim temos: <math>c_1 \,\!</math> para o primeiro caso e <math>c_2 \,\!</math> para o segundo.
 
Para esboçar o gráfico de uma função desconhecida podemos extrair as raízes e o valor da função quando ''x'' é nula, além disso podemos verificar os pontos em que a função apresenta números críticos, extraindo a derivada primeira, a derivada segunda e resolvendo as equações: <math>f\ '(x)=0 \,\!</math> e <math>f\ ''(x)=0 \,\!</math>, verificando os pontos onde as derivadas não existem; a partir de então podemos verificar as tendências de crescimento ou decaimento nos intervalos entre os números críticos, as raízes, pontos de inflexão e concavidades.
 
Obviamente, os resultados numéricos em pontos onde não existem números críticos não fornecem precisão para uma avaliação de valores, porém para a análise do comportamento da função e, em alguns casos, na visualização de formas geométricas, este método é bastante útil.