Cálculo (Volume 1)/Integrais: diferenças entre revisões

Considere a função <math> F(x)=f(x)+C \,\!</math> cuja derivada <math>F\ '(x) = f\ '(x) \,\!</math>, então dizemos que <math>F(x) \,\!</math> é a antiderivada de <math>f\ '(x) \,\!</math>, a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos <math>f\ '(x) \,\!</math> para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antidiferenciação, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar <math> f\ '(x) \,\!</math> e zero, o primeiro requisito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.

função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: <math>f(x)+C \,\!</math>.

Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: <math>f\ '(x)\quad ;\quad g\ '(x) \,\!</math> derivadas de <math>f(x)+C\quad ; \quad g(x)+D \,\!</math>, mesmo que <math>f\ '(x)=g\ '(x) \,\!</math>, ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos <math>f(x)\quad ;\quad g(x) \,\!</math>, que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes.

Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função <math>y=f(x)+C \,\!</math>, então temos: <math>\frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=f\ '(x) \,\!</math>, o que nos leva a algo muito interessante:

<math> \mbox{d}y = f\ '(x) \cdot \mbox{d}x \,\!</math>

<math>\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} f\ '(x) \cdot \Delta x \,\!</math>

Temos ainda que <math>y=f(x)+C \,\!</math>, fazendo-nos deduzir que precisamos operar:

<math> \lim_{\Delta x \to 0} f\ '(x) \cdot \Delta x \,\!</math>

<math> \int f \cdot \mbox{d} \,\!</math>

De forma mais completa a antidiferencial da função <math>f\ '(x) \,\!</math> é:

<math> \int f\ '(x) \cdot \mbox{d}x + C \,\!</math>

A diferencial <math>\mbox{d}x \,\!</math> ao ser operada pela antidiferenciação, resulta:

<math>\int \mbox{d}x=x+C \,\!</math>

De fato se <math>F(x)=x+C \,\!</math>:

<math>\mbox{d}\ F(x)= \mbox{d}x + 0 \,\!</math>

<math>\mbox{d}\ F(x)= \mbox{d}x \,\!</math>

<math>\int c\ \mbox{d}x = c \cdot x \,\!</math>

Se fizermos: <math> f(x)=c\ x \,\!</math>, teremos:

<math>f\ '(x)= c \,\!</math>

|texto=Se <math>f(x)=g(x) + h(x) \,\!</math> então:

<math>\int f(x)\mbox{d}x=\int g(x)\mbox{d}x + \int h(x)\mbox{d}x \,\!</math>

Se <math>f(x) \,\!</math> é o resultado da soma de duas antidiferenciais, logo:

#Temos que admitir que <math>g(x) \,\!</math> e <math>h(x) \,\!</math> são diferenciais;

## Se <math>g(x)= \mbox{d} m \,\!</math> e <math>h(x)= \mbox{d} n \,\!</math>, temos: <math>g(x) + h(x)= \mbox{d} m + \mbox{d} n \,\!</math>

## Sendo, portanto, possível fazer: <math>g(x) + h(x)= \mbox{d} (m + n) \,\!</math>

## Além disso: Se <math>(m + n) = p \,\!</math> então, podemos fazer: <math>f(x)= \mbox{d} p \,\!</math>

Seja a função <math>f(x)={x^n} \,\!</math> onde n é constante, sua antidiferencial é:

<math>U(x)= \int f(x) \mbox{d} x = \frac {x^{n+1}}{n+1}+C \,\!</math> ; onde: <math>n \ne -1 \,\!</math>

<math> U\ '(x)= \frac{\mbox{d} \frac{x^{n+1}}{n+1}+C}{\mbox{d} x} \,\!</math>

<math> U\ '(x)= \frac{1}{n+1} \frac{\mbox{d} ({x^{n+1}})}{\mbox{d} x} + \frac{\mbox{d} C}{\mbox{d} x} \,\!</math>

<math> U\ '(x)= \frac{1}{n+1} \cdot (n+1) (x^n) + 0 \,\!</math>

<math> U\ '(x)={x^n} \,\!</math>

<math> U\ '(x)=f(x) \,\!</math>

Seja as funções <math>f(u) \,\!</math> e <math>u=g(x) \,\!</math>, contínuas em seus domínios ou no intervalo a que se propõe a análise em questão. A antidiferencial da função composta <math>f(u) \,\!</math> com relação a ''x'' é:

<math>\int f(u) \mbox{d} x = \int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \mbox{d} x + C \,\!</math>

<math>u=g(x) \,\!</math> , temos:

<math>\mbox{d} u= g\ '(x) \cdot \mbox{d} x \,\!</math>

<math>\int f(u) \mbox{d} u \,\!</math>, obtendo:

<math>\int f(u) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x \,\!</math>

<math>\int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x \,\!</math>

<math>\int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x + C \,\!</math>

Seja a equação <math>y=f(x)+a \,\!</math>, a sua derivada é expressa como:

<math> \frac {\mbox{d} y}{\mbox{d} x}=f\ '(x) \,\!</math>

sendo <math>a \,\!</math> uma constante arbitrária, definida pelas características das deduções que originaram a equação.

<math> {\mbox{d} y}=f\ '(x)\cdot {\mbox{d} x} \,\!</math>

<math> \int {\mbox{d} y}=\int f\ '(x)\cdot {\mbox{d} x} + C \,\!</math>

Com ''C'' constante; lembre-se que ''C'' é uma constante não definida, a constante original é <math>a \,\!</math>.

<math>y=f(x)+C \,\!</math>

<math>y=f(x)+C\,\!</math>

Quando <math>f(x)=0 \,\!</math> temos <math>y=a \,\!</math> pois:

<math>a=0+C \,\!</math>

<math>C=a \,\!</math>

<math>\int f(x) \mbox{d} x \,\!</math>

Observamos que a mesma corresponde a uma operação sobre pequenas seções de área, pois <math>f(x) \mbox{d} x \,\!</math> corresponde a multiplicação de um segmento numérico de largura, <math>\mbox{d}x \,\!</math>, pela altura, o valor da função aproximada ao limite em cada ponto.

A operação da forma que se apresenta estende-se de <math>- \infty \,\!</math> a <math>+ \infty \,\!</math>. Analisando qual a natureza desta operação, podemos tomar dois valores para <math>\mbox{d} x \,\!</math>, sejam: <math>{\mbox{d} x}_1 \,\!</math> e <math>{\mbox{d} x}_2 \,\!</math>, sendo <math>{\mbox{d} x}_2\ >\ {\mbox{d} x}_1 \,\!</math>, quando analisamos este fato concluimos que a área do intervalo menor está dentro da área do maior, vemos que a operação comporta-se como uma soma de áreas, se somarmos todas as componentes de áreas ao longo da curva teremos uma área delimitada pela curva e o eixo ''x''.

Considere a operação: <math>U=a_1+a_2+a_3+a_3+a_4+...a_n \,\!</math>, chamamos esta operação de somatória, ela é simbolizada pela letra grega sigma (<math>\Sigma \,\!</math>), utilizando a notação escrita como segue:

<math>\sum_{i=1}^n a_i \,\!</math>

O significado deste símbolo é facilmente compreendido: A variável i é chamada de índice, o número n é a quantidade de parcelas, ocorre que, ao substituir estes valores na expressão <math>a_i\,\!</math>, fazemos de forma seqüencial, somando um valor ao anterior, como descrito na operação acima, o que resultará no valor final de ''U'', pretendido na referida operação.

<math>\sum_{i=1}^n c = nc \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n c = c+c+c+c+c+c+ \dots +c \Rightarrow \,\!</math> n vezes.

<math>\sum_{i=1}^n cf(i) = c\sum_{i=1}^n f(i) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n cf(i) = cf(1)+cf(2)+cf(3)+cf(4)+cf(5)+cf(6)+ \dots +cf(n) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n cf(i) = c[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+ \dots +f(n)] \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = \sum_{i=1}^n f(i) + \sum_{i=1}^n g(i) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = [f(1) + g(1)] + [f(2) + g(2)] + [f(3) + g(3)]+ \dots +[f(n) + g(n)] \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = [f(1) + f(2) + f(3)+ \dots +f(n)] + [g(1) + g(2) + g(3)+ \dots +g(n)] \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = f(n)\ -\ f(0) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = f(1)\ -\ f(0) + f(2)\ -\ f(1) +f(3)\ -\ f(2) +f(4)\ -\ f(3) - \dots + f(n)-f(n-1) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = - f(0) + f(n) \,\!</math>

Consideremos a função do gráfico: <math>y=f(x) \,\!</math>, a sua integral entre os valores de x: ''a'' e ''b'' é:

<math> \int^b_a f(x) \mbox{d} x \,\!</math>

Chamamos o intervalo <math>[a,b] \,\!</math> de '''partição''' e simbolizamos como: <math>\Delta \,\!</math>. Ao dividirmos o intervalo <math>[a,b] \,\!</math> em ''n'' "pedaços"(seções) temos a possibilidade de definir o tamanho de cada um, porém a regra de Riemann é mais flexível e estabelece que podemos ter pedaços de tamanhos diferentes, de forma que tenhamos apenas que estabelecer os valores de ''x'' tal que: <math>\{x_1<x_2<x_3<x_4<x_5< \dots <x_n\} \,\!</math>. Uma vez que estabelecemos os valores dos x, podemos arbitrar um ponto intermediário entre eles para que seja o ponto onde definiremos o valor da função, este ponto será importante porque ele estabelecerá a altura do retângulo. O valor de ''x'', que determinará o ponto da altura de cada retângulo é referenciado como <math>( \xi ) \,\!</math>, referenciamos estes pontos como: <math>[{\xi}_n\ ,\ f({\xi}_n)]\,\!</math>.

A base dos retângulos é <math>\Delta x_n \,\!</math>, onde os valores podem variar livremente, porém há sempre um retângulo que possui a maior base, que chamamos de '''norma''' da partição <math>[a,b] \,\!</math>, simbolizada por <math>\left \| \Delta \right \|</math>.

Sejam <math>f(x) \,\!</math> e <math>g(x) \,\!</math>, funções contínuas no intervalo <math>[a,b] \,\!</math>, podemos afirmar que:

<math> \int^a_a f(x) \mbox{d} x = 0 \,\!</math>

<math>\Delta x = \frac {a-b}{n} \,\!</math>

<math>\Delta x = \frac {a-a}{n} = 0 \,\!</math>

<math>{\Delta}_i x = 0 \,\!</math> e:

<math>\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x = 0 \,\!</math>

<math> \int^b_a K f(x) \mbox{d} x = K \int^b_a f(x) \mbox{d} x \,\!</math>

<math>\int^b_a K f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} K f({\xi}_i) {\Delta}_i x \,\!</math>

<math>\int^b_a K f(x)\mbox{d} x =K \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x \,\!</math>

<math> \int^b_a f(x) \mbox{d} x = - \int^a_b f(x) \mbox{d} x\,\!</math>

Novamente tomando o intervalo <math>[a,b] \,\!</math>, dividindo-o em n pedaços, teremos:

<math>\Delta x = \frac {a-b}{n} \,\!</math>

Portanto <math>\Delta x \,\!</math> é fator determinante do sinal. Se tomarmos a integral no intervalo <math>[a,b]\,\!</math> e invertermos a sua posição no cálculo, teremos:

<math> \frac {a-b}{n} = - \frac {b-a}{n} \,\!</math>

Logo, tomando <math>a \to b \,\!</math> como <math>\Delta x \,\!</math> é igual a tomar <math> b \to a \,\!</math> como <math> - \Delta x \,\!</math>.

<math> \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \int^b_a f(x) \mbox{d} x + \int^b_a g(x) \mbox{d} x \,\!</math>

<math> \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} [f({\xi}_i)\ +\ g({\xi}_i)] {\Delta}_i x \,\!</math>

<math> \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i){\Delta}_i x\ +\ \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} g({\xi}_i){\Delta}_i x \,\!</math>

Sendo ''c'' constante e <math> a<c<b \,\!</math>:

<math> \int^b_a f(x) \mbox{d} x = \int^c_a f(x) \mbox{d} x + \int^b_c f(x) \mbox{d} x \,\!</math>

<math>\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x \,\!</math>

<math> \Delta = \frac{c-a}{k} \,\!</math>

<math> \Delta = \frac{b-a}{n} \,\!</math>

O <math>\Delta \,\!</math> é um valor que pode ser atribuído às duas relações, portanto podemos fazer:

<math>\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^k_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x + \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=k+1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x \,\!</math>

Seja a seção <math> [a,b] \,\!</math> no domínio da função <math>f(x) \,\!</math>, dizemos que ''M'' é o valor médio da função neste intervalo, sendo seu valor definido como segue:

<math> M = \frac {\int^b_a f(x) \mbox{d} x}{b-a} \,\!</math>

<math>M = \frac {\sum^n_{i=1} v_i}{n} \,\!</math>

Onde <math>v_i \,\!</math> representa um valor em particular. Sendo <math>f({\xi}_i) \,\!</math> o valor da função para cada retângulo, podemos fazer a sua média da seguinte forma:

<math>M = \frac {\sum^n_{i=1} f({\xi}_i)}{n} \,\!</math>

<math>n=\frac{b-a}{\Delta x} \,\!</math>

<math>M \approx \frac {\sum^n_{i=1} f({\xi}_i) \Delta x}{b-a} \,\!</math>

Uma vez que o <math>\Delta x \,\!</math> é um valor muito grosseiro, podemos encontrar o limite quando a norma da partição tende a ser nula, desta forma:

<math>M = \frac {1}{b-a} \cdot \left [ \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0 } \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) \Delta x \right ] \,\!</math>

Seja a função <math>f(x)\,\!</math> contínua no intervalo <math>[a,b] \,\!</math>, a sua integral definida entre ''a'' e ''b'' é obtida pela operação que segue:

<math>\int^b_a f(x) \mbox{d} x = g(b)\ -\ g(a) \,\!</math>

<math>g(x)=\int f(x) \mbox{d} x \,\!</math>

<math>\int^b_a f(x) \mbox{d} x = g(x)|^b_a \,\!</math>

Devemos demonstrar que a derivada de <math>g(x)|^b_a \,\!</math> é igual a <math>f(x) \,\!</math>.

<math>F(x)= \int^{x}_a f(u) \mbox{d} u \,\!</math>

<math>F\ '(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int^{x+ \Delta x}_a f(u) \mbox{d} u - \int^x_a f(u) \mbox{d} u }{\Delta x} \,\!</math>

<math>F\ '(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int^x_a f(u) \mbox{d} u + \int^{x+ \Delta x}_x f(u) \mbox{d} u - \int^x_a f(u) \mbox{d} u }{\Delta x} \,\!</math>

<math>F\ '(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int^{x+ \Delta x}_x f(u) \mbox{d} u}{\Delta x} \,\!</math>

Observe que <math> F\ '(x) = \lim_{\Delta x \to 0} M(x) \,\!</math>, ou seja, é o limite do valor médio quando o intervalo tende a ser nulo, o que resulta em <math> f(x) \,\!</math>, pois é equivalente a fazer uma média com apenas um elemento, o próprio valor de <math> f(x) \,\!</math>. Observemos ainda que o valor médio, aqui expresso, não é constante, visto que depende de ''x'', o que quer dizer que temos um valor médio para cada seção da curva.

O valor médio dos valores entre <math>f(x)\,\!</math> e <math>f(x + \Delta x)\,\!</math> no mínimo é feito com os dois extremos apresentados, da seguinte forma:

<math> M(x) = \frac {f(x + \Delta x) + f(x)}{2} \,\!</math>

<math> F\ '(x) = M(x) \,\!</math>

<math>F\ '(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) + f(x)}{2} \,\!</math>

<math>F\ '(x) = f(x) \,\!</math>.

Portanto <math> F(x) \,\!</math> é antidiferencial de <math> f(x) \,\!</math>.

<math>F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\mbox{d} x- \int^a_a f(x)\mbox{d} x \,\!</math>

<math>F(b)-F(a) = \int^b_a f(x)\mbox{d} x- 0 \,\!</math>

então: <math> g(x)=F(x) \,\!</math> que é a antidiferencial de <math>f(x) \,\!</math>, logo:

<math>g(x)=\int f(x) \mbox{d} x \,\!</math>