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Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): diferenças entre revisões

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Linha 142:
==== Integral da tangente ====
 
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tg}(x) \,\!</math>, definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:
 
<math>F(x)= \int \ \mbox{tg}(x) dx</math>
Linha 150:
Por outro lado, se:
 
<math>u=\cos(x) \,\!</math>
 
<math>du=-\ \mbox{sen}(x)dx \,\!</math>
 
O que nos possibilita afirmar que:
Linha 158:
<math>F(x)= - \int \frac{du}{u}</math>
 
<math>F(x)= - \ln|\cos(x)| \,\!</math>
 
<math>F(x)= \ln \left|\frac{1}{\cos(x)} \right| </math>
Linha 164:
Portanto:
 
<math>F(x)= \ln|\sec(x)| + C \,\!</math>
 
==== Integral da secante ====
Linha 233:
<math>\ \mbox{sen}(x)\ \mbox{cosec}(x)=1</math>
<math>\cos(x)\sec(x)=1 \,\!</math>
<math>\mbox{tg}(x)\ \mbox{cotg}(x)=1</math>
Linha 348:
==== Derivadas do arcseno e arccosseno ====
 
Seja a função <math>y=\ \mbox{arcsen}(x) \,\!</math>, sendo a sua inversa:
 
<math>x=\ \mbox{sen}(y)\,\!</math>,
 
podemos operá-la desta forma:
 
<math>dx=\cos(y)dy\,\!</math>
 
<math>\frac{dx}{dy}=\cos(y)\,\!</math>,
 
Por outro lado:
 
<math>\ \mbox{sen}^2(y)+\cos^2(y)=1\,\!</math>
 
<math>\cos(y)=\sqrt{1-\ \mbox{sen}^2(y)}\,\!</math>
 
<math>\cos(y)=\sqrt{1-x^2}</math>
Linha 376:
Ainda temos que a função <math>z=\ \mbox{arccos}(x)</math>, sendo a sua inversa:
 
<math>x=\cos(z)\,\!</math>,
 
podemos operá-la desta forma:
 
<math>dx=-\ \mbox{sen}(z)dz\,\!</math>
 
<math>\frac{dx}{dz}=-\ \mbox{sen}(z)\,\!</math>,
 
Por outro lado:
 
<math>\ \mbox{sen}^2(z)+\cos^2(z)=1\,\!</math>
 
<math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-\cos^2(z)}\,\!</math>
 
<math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}\,\!</math>
 
O que nos dá:
 
<math>\frac{dx}{dz}=-\sqrt{1-x^2}\,\!</math>,
 
Logo:
 
<math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\!</math>
 
==== Integrais do arcseno e arccosseno ====
Linha 408:
Definimos a função:
 
<math>y=arctg(x)\,\!</math>,
 
arctangente de ''x'', como a inversa da função:
 
<math>x=tg(y)\,\!</math>,
 
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan^{-1} x\ ,\ \cot^{-1} x</math> ou <math>\tan^{-1} (x)\ ,\ \cot^{-1} (x)</math> ou <math>\arctan x\ ,\ \arccot x</math> ou ainda <math>\arctan (x)\ ,\ \arccot (x)</math>para representação de arctangente e arccotangente respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}
Linha 420:
Do mesmo modo podemos definir a função:
 
<math>z=arccotg(t)\,\!</math>,
 
arccotangente de ''t'', como a inversa da função:
 
<math>t=cotg(z)\,\!</math>,
 
cotangente de ''z'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.
Linha 430:
==== Derivadas da arctangente e arccotangente ====
 
Seja a função <math>y=arctg(x)\,\!</math>, sendo a sua inversa:
 
<math>x=tg(y)\,\!</math>,
 
podemos operá-la desta forma:
 
<math>dx=sec^2 (y)dy\,\!</math>
 
<math>\frac{dx}{dy}=sec^2 (y)\,\!</math>,
 
Por outro lado:
 
<math>sec^2(y)=1+tg^2(y)\,\!</math>
 
<math>sec^2(y)=1+x^2\,\!</math>
 
O que nos dá:
 
<math>\frac{dx}{dy}=1+x^2\,\!</math>,
 
Logo:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}\,\!</math>
 
Ainda temos que a função <math>z=arccotg(x)\,\!</math>, sendo a sua inversa:
 
<math>x=cotg(z)\,\!</math>.
 
Por outro lado:
 
<math>arccotg(z)=\frac{\pi}{2} - arctg(z)\,\!</math>
 
O que nos dá:
 
<math>\frac{dz}{dx}=0-\frac{d[arctg(z)]}{dx}\,\!</math>,
 
Logo:
 
<math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}\,\!</math>
 
==== Integrais da arctangente e arccotangente ====
Linha 478:
Definimos a função:
 
<math>y=\ \mbox{arcsec}(x)\,\!</math>,
 
arcsecante de ''x'', como a inversa da função:
 
<math>x=\sec(y) \,\!</math>,
 
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sec^{-1} x\ ,\ \csc^{-1} x</math> ou <math>\sec^{-1} (x)\ ,\ \csc^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsec x\ ,\ \arccsc x</math> ou <math>\arcsec (x)\ ,\ \arccsc (x)</math> para representação de arcsecante e arccossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}}
 
secante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)\,\!</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
 
A função <math>\ \mbox{arcsec}(x)\,\!</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arccos}(x)\,\!</math> como segue:
 
<math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left(\frac{1}{x} \right)\,\!</math>
 
Do mesmo modo podemos definir a função:
 
<math>z=\ \mbox{arccosec}(t)\,\!</math>,
 
arccosecante de ''t'', como a inversa da função:
 
<math>t=\ \mbox{cosec}(z)\,\!</math>,
 
cosecante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)\,\!</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
 
A função <math>\ \mbox{arccosec}(x)\,\!</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arcsen}(x)\,\!</math> como segue:
 
<math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arcsen} \left(\frac{1}{x} \right)\,\!</math>
 
==== Derivadas da arcsecante e arccossecante ====
Linha 510:
Seja a função:
 
<math>y=\ \mbox{arcsec}(x)\,\!</math>
 
que tem correspondência em:
 
<math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left (\frac{1}{x} \right)\,\!</math>
 
Sendo:
 
<math>\frac{d[\ \mbox{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2-1}}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}\,\!</math>
para <math>|x|>1\,\!</math>
 
==== Integrais da arcsecante e arccossecante ====
Linha 538:
Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:
 
<math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \ \mbox{arcsen}(x)+C\,\!</math>
<math>\int \frac{dx}{1+x^2} = \ \mbox{arctg}(x)+C\,\!</math>
<math>\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \ \mbox{arcsec}(|x|)+C\,\!</math>
 
Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação ''C''.
Linha 556:
=== Seno e cosseno hiperbólicos ===
 
A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole <math>y=\frac{1}{2x}\,\!</math>, onde encontramos:
 
<math>\ \mbox{senh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2} \,\!</math>
 
A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:
 
<math>\cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2} \,\!</math>
 
Sendo obtida de forma similar a anterior.
 
O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente <math>e^x</math> e uma exponencial decrescente <math>e^{-x}\,\!</math> lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.
 
==== Relacionando seno e cosseno hiperbólico ====
 
Considere a operação: <math>\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) \,\!</math>,
 
Da definição temos:
 
<math>\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 -\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2\,\!</math>
 
<math>\frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2e^x e^{-x}}{4} -\frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2e^x e^{-x}}{4}\,\!</math>
 
<math>\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{4}\,\!</math>
 
<math>\frac{4}{4}\,\!</math>
 
logo:
 
<math>\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) = 1\,\!</math>
 
==== Derivada do seno hiperbólico ====
 
Seja a função seno hiperbólico <math>y=\ \mbox{senh}(x)\,\!</math>, podemos dizer que:
 
<math>y=\frac{e^x - e^{-x}}{2} \,\!</math>
 
sendo:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x-(-e^{-x}))\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x+e^{-x})\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\cosh(x)\,\!</math>
 
==== Derivada do cosseno hiperbólico ====
Linha 606:
Seja a função cosseno hiperbólico <math>y=\cosh(x)</math>, podemos dizer que:
 
<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{2} \,\!</math>
 
sendo:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x+(-e^{-x}))\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{senh}(x)\,\!</math>
 
==== Integral do seno hiperbólico ====
Linha 622:
A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
 
<math>\int \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) dx \,\!</math>
 
<math>\int \frac{1}{2} e^x dx- \int \frac{1}{2} e^{-x} dx \,\!</math>
 
<math>\frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} e^{-x} \,\!</math>
 
<math>\frac{e^x + e^{-x}}{2} \,\!</math>
 
Concluimos que:
 
<math>\int \ \mbox{senh}(x) = \cosh(x) + C \,\!</math>
 
==== Integral do cosseno hiperbólico ====
Linha 638:
A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
 
<math>\int \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) dx \,\!</math>
 
<math>\int \frac{1}{2} e^x dx + \int \frac{1}{2} e^{-x} dx \,\!</math>
 
<math>\frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} e^{-x} \,\!</math>
 
<math>\frac{e^x - e^{-x}}{2} \,\!</math>
 
Concluimos que:
 
<math>\int \cosh(x) = \ \mbox{senh}(x) + C \,\!</math>
 
=== Tangente e secante hiperbólicas ===
Linha 654:
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:
 
<math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,\!</math>
 
ou
 
<math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)}\,\!</math>
 
A secante hiperbólica é definida como:
 
<math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}\,\!</math>
 
ou
 
<math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}\,\!</math>
 
==== Relacionando tangente e secante hiperbólicas ====
Linha 672:
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
 
<math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)\,\!</math>
 
<math>1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 \,\!</math>
 
<math>1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} - 2}{e^{2x} + e^{-2x} + 2} \,\!</math>
 
<math>\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} + 4}{e^{2x} + e^{-2x} + 2} \,\!</math>
 
<math>\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} \,\!</math>
 
<math>\frac{1}{\cosh^2(x)}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)=\ \mbox{sech}^2(x)\,\!</math>
 
==== Derivada da tangente hiperbólica ====
 
Seja a função <math>y=\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \cosh^2(x) \right) - \left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}{\left( \cosh^2(x) \right)}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh^2(x)}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{sech}^2(x)\,\!</math>
 
==== Derivada da secante hiperbólica ====
 
Seja a função <math>y=\ \mbox{sech}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} + e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x} }\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{sech}(x)\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>
 
==== Integral da tangente hiperbólica ====
 
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>F(x)=\int \frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)} dx\,\!</math>
 
Se fizermos:
 
<math>u=\cosh(x)\,\!</math>
 
<math>du=\ \mbox{senh}(x)dx\,\!</math>
 
verificamos:
 
<math>F(x)=\int \frac{du}{u}\,\!</math>
 
<math>F(x)=\ln |u|\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>F(x)=\ln |\cosh(x)| + C \,\!</math>
 
==== Integral da secante hiperbólica ====
Linha 748:
A cotangente hiperbólica é definida como:
 
<math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
 
ou
 
<math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)}\,\!</math>
 
A cosecante hiperbólica é definida como:
 
<math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{2}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
 
ou
 
<math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{1}{\ \mbox{senh}(x)}\,\!</math>
 
==== Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas ====
Linha 766:
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
 
<math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)\,\!</math>
 
<math>1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2 \,\!</math>
 
<math>1- \frac{e^{2x} + e^{-2x} + 2}{e^{2x} + e^{-2x} - 2} \,\!</math>
 
<math>\frac{e^{2x}-e^{2x} + e^{-2x}-e^{-2x} - 4}{e^{2x} + e^{-2x} - 2} \,\!</math>
 
<math>-\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} \,\!</math>
 
<math>-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)=\ \mbox{cosech}^2(x)\,\!</math>
 
==== Derivada da cotangente hiperbólica ====
 
Seja a função <math>y=\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}\,\!</math>
 
Portanto:
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}^2(x)\,\!</math>
 
==== Derivada da cossecante hiperbólica ====
 
Seja a função <math>y=\ \mbox{cosech}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{e^{x} - e^{-x} } \cdot \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x} }\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}(x)\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>
 
==== Integral da cotangente hiperbólica ====
 
Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>, temos:
 
<math>F(x)=\int \frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)} dx\,\!</math>
 
Se fizermos:
 
<math>u=\ \mbox{senh}(x)\,\!</math>
 
<math>du=\cosh(x)dx\,\!</math>
 
verificamos:
 
<math>F(x)=\int \frac{du}{u}\,\!</math>
 
<math>F(x)=\ln |u|\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>F(x)=\ln |\ \mbox{senh}(x)| + C \,\!</math>
 
==== Integral da cossecante hiperbólica ====
Linha 860:
Agora consideremos a função '''<math>t=\ \mbox{senh}(x)</math>''', então:
 
<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}\,\!</math>
 
Podemos fazer <math>e^{x}=u\,\!</math>, logo:
 
<math>t=\frac{u - u^{-1}}{2}\,\!</math>
 
O que resulta na equação:
 
<math>u^2-2tu-1=0\,\!</math>
 
cujas raízes são:
 
<math>u=t \pm \sqrt{t^2 +1}\,\!</math>
 
Podemos apenas admitir: <math>u>0\,\!</math>, consequentemente:
 
<math>e^x = t+ \sqrt{t^2 + 1}\,\!</math>
 
Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>senh(x)\,\!</math> que é:
 
<math>\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|\,\!</math>
 
No caso de '''<math>t=\cosh(x) \,\!</math>''', a dedução é similar:
 
<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}\,\!</math>
 
Podemos fazer <math>e^{x}=u\,\!</math>, logo:
 
<math>t=\frac{u + u^{-1}}{2}\,\!</math>
 
O que resulta na equação:
 
<math>u^2-2tu+1=0\,\!</math>
 
cujas raízes são:
 
<math>u=t \pm \sqrt{t^2 -1}\,\!</math>
 
Podemos apenas admitir: <math>u>0\,\!</math>, consequentemente:
 
<math>e^x = t+ \sqrt{t^2 - 1}\,\!</math>
 
Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>cosh(x)</math> que é:
 
<math>\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
 
==== Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x) ====
Linha 910:
Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:
 
'''<math>y=\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|\,\!</math>'''
 
de onde deduzimos:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2+1}} \right)\,\!</math>
 
resultando:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,\!</math>
 
----
 
E para '''<math>y=\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|\,\!</math>'''
 
de onde deduzimos:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \right)\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(\frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2-1}} \right)\,\!</math>
 
e finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
 
==== Integrais de argsenh(x) e argcosh(x) ====
Linha 942:
=== argtgh e argsech ===
 
Considerando '''<math>t=\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>''', temos:
 
<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,\!</math>
 
se <math>u=e^x\,\!</math>:
 
<math>t=\frac{u - u^{-1}}{u + u^{-1}}\,\!</math>
 
o que resulta na equação:
 
<math>(t-1)u^2 + t + 1 = 0\,\!</math>
 
cujas raízes são:
 
<math>u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\,\!</math>
 
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 \,\!</math> e <math> t < 1 \,\!</math>:
 
<math>e^x = \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}\,\!</math>
 
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':
 
<math>y = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\,\!</math>
 
Que é a inversa da <math>\ \mbox{tgh}(x)\,\!</math>, portanto:
 
<math>\ \mbox{argtgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\,\!</math>, <math> |x|<1 \,\!</math>
 
Ou,
 
<math>\ \mbox{argtgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{1+x}{1-x}}\,\!</math>, <math> |x|<1 \,\!</math>
 
----
 
Considerando '''<math>t=\ \mbox{sech}(x)\,\!</math>''', temos:
 
<math>t=\frac{2}{e^x + e^{-x}}\,\!</math>
 
se <math>u=e^x\,\!</math>:
 
<math>t=\frac{2}{u + u^{-1}}\,\!</math>
 
o que resulta na equação:
 
<math>tu^2 - 2u + t = 0\,\!</math>
 
Cujas raízes são:
 
<math>u=\frac{1 \pm \sqrt{1-t^2}}{t}\,\!</math>
 
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 \,\!</math> e <math>0 < t < 1 \,\!</math>:
 
<math>e^x=\frac{1 - \sqrt{1-t^2}}{t}\,\!</math>
 
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':
 
<math>y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|\,\!</math>
 
Que é a inversa da <math>sech(x)\,\!</math>, portanto:
 
<math>\ \mbox{argsech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|\,\!</math>, <math>0 < x < 1 \,\!</math>
 
==== Derivadas de argtgh e argsech ====
 
Seja '''<math>y = \ \mbox{argtgh}(x)\,\!</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}\,\!</math>, <math>|x|<1</math>
 
Deduzimos que sua derivada é:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argtgh}(x)]}{dx}\,\!</math>
 
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{1-x - (1+x)(-1)}{(1-x)^2}\right]\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{2}{(1-x)^2}\right]\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(1+x)(1-x)} \right] \,\!</math>
 
e, finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} \,\!</math>, <math>|x|<1\,\!</math>
 
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
Linha 1 028:
----
 
Seja '''<math>y = \ \mbox{argsech}(x)\,\!</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|\,\!</math>,
 
Deduzimos que sua derivada é:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argsenh}(x)]}{dx}\,\!</math>
 
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left[ \frac{x \frac{-(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}-\left(1-\sqrt{1-x^2} \right)}{x^2}\right]\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{x^2 - \sqrt{1-x^2} + 1 - x^2}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)\,\!</math>
 
e, finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}\,\!</math>
 
==== Integrais de argtgh e argsech ====
Linha 1 052:
=== argcotgh e argcosech ===
 
Considerando '''<math>t=\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>''', temos:
 
<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
 
se <math>u=e^x\,\!</math>:
 
<math>t=\frac{u + u^{-1}}{u - u^{-1}}\,\!</math>
 
o que resulta na equação:
 
<math>(1-t)u^2 - t - 1 = 0\,\!</math>
 
cujas raízes são:
 
<math>u= \pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}\,\!</math>
 
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 \,\!</math> e <math> t < 1 \,\!</math>:
 
<math>e^x = \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}\,\!</math>
 
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':
 
<math>y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,\!</math>
 
Que é a inversa da <math>\ \mbox{cotgh}(x)\,\!</math>, portanto:
 
<math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
 
Ou,
 
<math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{x+1}{x-1}}\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
 
----
 
Considerando '''<math>t=\ \mbox{cosech}(x)\,\!</math>''', temos:
 
<math>t=\frac{2}{e^x - e^{-x}}\,\!</math>
 
se <math>u=e^x\,\!</math>:
 
<math>t=\frac{2}{u - u^{-1}}\,\!</math>
 
o que resulta na equação:
 
<math>tu^2 - 2u - t = 0\,\!</math>
 
Cujas raízes são:
 
<math>u=\frac{1 \pm \sqrt{1+t^2}}{t}\,\!</math>
 
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 \,\!</math>:
 
<math>e^x=\frac{1 - \sqrt{1+t^2}}{t}\,\!</math>
 
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'':
 
<math>y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|\,\!</math>
 
Que é a inversa da <math>cosech(x)</math>, portanto:
 
<math>\ \mbox{argcosech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|\,\!</math>
 
==== Derivadas de argcotgh e argcosech ====
 
Seja '''<math>y = \ \mbox{argcotgh}(x)\,\!</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{x-1}{x+1}\,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
 
Deduzimos que sua derivada é:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argcotgh}(x)]}{dx}\,\!</math>
 
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}\right]\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{2}{(x+1)^2}\right]\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right] \,\!</math>
 
e, finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} \,\!</math>, <math>|x|>1\,\!</math>
 
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
Linha 1 138:
----
 
Seja '''<math>y = \ \mbox{argcosech}(x)\,\!</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|\,\!</math>,
 
Deduzimos que sua derivada é:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argcosh}(x)]}{dx}\,\!</math>
 
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left[ \frac{x \frac{-2x}{2\sqrt{1+x^2}}-\left(1-\sqrt{1+x^2} \right)}{x^2}\right]\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{-x^2 - \sqrt{1+x^2} + 1 + x^2}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)\,\!</math>
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)\,\!</math>
 
e, finalmente:
 
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x| \sqrt{1+x^2}}\,\!</math>, <math>x \ne 0 \,\!</math>
 
==== Integrais de argcotgh e argcosech ====
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