Diferenças entre edições de "Probabilidade e Estatística/Probabilidade"

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Introdu¸c˜ao. No¸c˜ao de experiˆencia aleat´oria
A teoria da Probabilidade tem como objectivo formular modelos de fen´omenos
naturais em que se sup˜oe intervir o acaso, i.e., em que a partir do passado se n˜ao pode
prever deterministicamente o futuro, mas para os quais se podem encontrar, em certas
condi¸c˜oes, taxas de realiza¸c˜ao constante, que poder˜ao permitir certas previs˜oes de ´ındole
geral.
Tais fen´omenos dizem-se fen´omenos aleat´orios, i.e., s˜ao fen´omenos sujeitos `a
influˆencia do acaso e, como tal, fora do alcance do observador.
Defini¸c˜ao 2.1
Considere-se uma experiˆencia que verifica as seguintes caracter´ısticas:
– pode repetir-se um grande n´umero de vezes nas mesmas condi¸c˜oes ou pelo
menos em condi¸c˜oes semelhantes;
– a sua realiza¸c˜ao d´a um resultado de entre um conjunto de resultados poss´ıveis
w1,w2, ...,wN;
– cada um dos resultados da experiˆencia ´e imprevis´ıvel mas ´e poss´ıvel considerar
“estabilidade na frequˆencia da sua ocorrˆencia”.
Uma experiˆencia com estas caracter´ısticas diz-se ser uma experiˆencia aleat´oria.
Exemplos de experiˆencias aleat´orias:
1. lan¸camento de um dado e registo do n´umero de pontos que sai;
2. lan¸camento de uma moeda e observa¸c˜ao da face que fica voltada para cima;
3. lan¸camento de dois dados ;
4. tempo de vida de uma pessoa, em anos;
5. tempo de trabalho de uma m´aquina at´e `a primeira avaria.
Em cada um dos exemplos dados n˜ao ´e poss´ıvel saber `a priori o resultado que se ir´a
obter. Os fen´omenos aleat´orios s˜ao caracterizados pela sua imprevisibilidade (fen´omeno
n˜ao determin´ıstico) e pela sua regularidade estat´ıstica (observando-se o fen´omeno um
grande n´umero de vezes, nas mesmas condi¸c˜oes, a frequˆencia relativa de cada resultado
Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica e `a Probabilidade - ISA(2008) - Manuela Neves 39
poss´ıvel do fen´omeno tende a estabilizar, aproximando-se dum valor constante). Estas
caracter´ısticas foram j´a referidas na defini¸c˜ao de experiˆencia aleat´oria, dada acima.
Sendo assim, num fen´omeno aleat´orio n˜ao se pode prever o resultado da pr´oxima
prova, mas pode fazer-se uma previs˜ao do resultado em m´edia.
Espa¸co de resultados. No¸c˜ao de acontecimento
Defini¸c˜ao 2.2
Chama-se espa¸co de resultados ou espa¸co amostra e representa-se por
ao
conjunto de todos os resultados poss´ıveis associados a uma experiˆencia aleat´oria.
Para cada um dos exemplos citados acima temos os seguintes espa¸cos de resultados:
1.
= {1, 2, 3, 4, 5, 6};
2.
= { ‘valor’, ‘pa´ıs’} = {‘V’,‘P’} = {1, 0};
3.
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)};
4.
= IN;
5.
= IR+.
Defini¸c˜ao 2.3
Chama-se acontecimento aleat´orio a qualquer subconjunto do espa¸co de resultados.
Por exemplo
• no lan¸camento do dado, o acontecimento A – sa´ıda de face par pode representarse
por A={2, 4, 6};
• na observa¸c˜ao do tempo de trabalho de uma m´aquina at´e `a primeira avaria, o
acontecimento B – dura¸c˜ao entre 10 e 12 anos ´e B={x : 10 < x < 12}.
Se um acontecimento ´e constitu´ıdo por um ´unico elemento diz-se acontecimento
elementar, um acontecimento que n˜ao cont´em nenhum elemento diz-se acontecimento
imposs´ıvel e ao espa¸co
chama-se acontecimento certo.
Diz-se que um acontecimento se realiza sempre que o resultado de uma experiˆencia
´e um elemento que pertence ao acontecimento.
Do que ficou dito verifica-se que h´a equivalˆencia entre a no¸c˜ao de acontecimento
e a no¸c˜ao de conjunto. Tem-se ent˜ao um paralelismo entre ´algebra de conjuntos e ´algebra
de acontecimentos. Consideremos as principais no¸c˜oes da
Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica e `a Probabilidade - ISA(2008) - Manuela Neves 40
´A
lgebra dos Acontecimentos
1. Diz-se que A ´e subacontecimento de B e escreve-se A � B, se e s´o se a realiza¸c˜ao
de A implica a realiza¸c˜ao de B;
2. Dado um acontecimento A, chama-se acontecimento complementar ou contr´ario
a A e representa-se por Ac ou A, ao conjunto de todos os elementos de
que
n˜ao est˜ao em A.
3. Dados os acontecimentos A e B chama-se uni˜ao de A com B e representa-se por
A [ B ao acontecimento que consiste na realiza¸c˜ao de pelo menos um deles;
4. produto ou intersec¸c˜ao ´e o acontecimento AB ou A \ B, que se realiza apenas
quando ambos os acontecimentos se realizam;
Os acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos ou incompat´ıveis
se e s´o se a realiza¸c˜ao de um implica a n˜ao realiza¸c˜ao do outro, i.e., se e s´o se
A \ B = ;, ou seja a intersec¸c˜ao ´e o acontecimento imposs´ıvel;
5. Chama-se diferen¸ca dos acontecimentos A e B ao acontecimento A − B = A \ Bc,
i.e., ao acontecimento que se realiza se e s´o se A se realiza sem que B se realize.
Se B ⊂ A, A − B ´e o acontecimento complementar de A em rela¸c˜ao a B.
As propriedades estudadas na ´algebra dos conjuntos (associatividade, comutatividade,
idempotˆencia, absor¸c˜ao, distributividade, leis de Morgan, dupla nega¸c˜ao, complementaridade,
citando as mais importantes), s˜ao v´alidas para acontecimentos.
Probabilidade de um acontecimento
Intuitivamente, a no¸c˜ao de probabilidade de um acontecimento ´e uma medida da
possibilidade de ocorrˆencia do acontecimento quando se realiza a experiˆencia aleat´oria `a
qual o acontecimento est´a ligado.
A primeira defini¸c˜ao de probabilidade conhecida, foi a sintetizada por Laplace no
princ´ıpio do s´ec. XIX, sob a hip´otese de casos igualmente prov´aveis ou poss´ıveis,
ou o chamado princ´ıpio da simetria.
A defini¸c˜ao de Laplace dizia o seguinte:
• A probabilidade de realiza¸c˜ao de um dado acontecimento ´e igual ao quociente entre
o n´umero de casos favor´aveis `a realiza¸c˜ao desse acontecimento e o n´umero total de
casos poss´ıveis, desde que todos os casos sejam igualmente prov´aveis.
Seja A o acontecimento “sa´ıda de face par” quando do lan¸camento de um dado
equilibrado. Como h´a 3 casos favor´aveis em 6 casos poss´ıveis tem-se
P(A) =
3
6
.
Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica e `a Probabilidade - ISA(2008) - Manuela Neves 41
A defini¸c˜ao cl´assica de Laplace manteve-se at´e ao come¸co deste s´eculo, quando
come¸caram a surgir cr´ıticas por ela apresentar diversos inconvenientes. N˜ao era uma
defini¸c˜ao suficientemente geral pois fazia depender o c´alculo das probabilidades do facto
de os diferentes casos serem igualmente prov´aveis e numer´aveis.
A regularidade estat´ıstica dos fen´omenos aleat´orios faz surgir uma outra teoria
a Teoria frequencista da probabilidade, por analogia com a no¸c˜ao emp´ırica de
frequˆencia. Surgiu no in´ıcio do s´eculo e segundo ela a probabilidade de um acontecimento
pode ser determinada observando a frequˆencia relativa de ocorrˆencia desse acontecimento
numa sucess˜ao numerosa de experiˆencias aleat´orias.
Efectuando n repeti¸c˜oes duma experiˆencia aleat´oria, seja nA o n´umero de vezes
que se verificou o acontecimento A nessas n repeti¸c˜oes. Devido ao princ´ıpio da regularidade
estat´ıstica ´e de esperar que as frequˆencias relativas fn(A) = nA/n do acontecimento
A numa sucess˜ao de provas com um grande n´umero de repeti¸c˜oes sejam aproximadamente
iguais a um n´umero, digamos P (0 ≤ P ≤ 1).
A probabilidade ´e ent˜ao interpretada como frequˆencia limite, i.e., quando n
grande tem-se fn(A) � P(A).
Esta teoria considera como uma medi¸c˜ao f´ısica (frequˆencia relativa) um conceito
te´orico (probabilidade). A probabilidade P aparece como um objecto matem´atico, satisfazendo
certas propriedades imediatas que resultam da defini¸c˜ao de Laplace e da no¸c˜ao
de frequˆencia relativa.
No in´ıcio do s´ec XX come¸cou a sentir-se a necessidade de uma axiomatiza¸c˜ao
da teoria das probabilidades, que permitisse ultrapassar a ambiguidade da certos conceitos
e interpreta¸c˜oes, mas partindo da observa¸c˜ao da realidade e que a ela se aplicasse.
A defini¸c˜ao axiom´atica de probabilidade que iremos apresentar foi introduzida por Kolmogoroff.
Defini¸c˜ao 2.4
Dada uma experiˆencia aleat´oria, seja
o espa¸co de resultados associado. Chamase
probabilidade P, a uma aplica¸c˜ao que a cada acontecimento de
associa um n´umero
real satisfazendo o seguinte conjunto de axiomas:
A1) P(A) ≥ 0 ∀A ⊂
;
A2) P(
) = 1;
A3) P(A∪B) = P(A)+P(B) se A∩B = ∅. (Axioma das probabilidades totais).
Os axiomas apresentados referem-se ao caso de
ser finito. Quando
´e infinito,
o conjunto de axiomas est´a incompleto. Ter´a ent˜ao que se considerar a generaliza¸c˜ao do
axioma A3) ao caso de uma sucess˜ao infinita de acontecimentos. Teremos ent˜ao o axioma
A3∗) P(∪∞ i=1Ai) =
P∞
i=1 P(Ai) se Ai ∩Aj = ∅, i 6= j (Axioma completo das probabilidades
totais).
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