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nunca desprese uma pessoa que a bre sua boca pra te dizer que te ama pois um dia vc vair essa mesma frase dessa mesma boca e la so serar aberta novamente para te dezer sinto muito mai
== Definição ==
Um '''número natural''' é um número [[Matemática elementar/Conjuntos/Números inteiros|inteiro]] não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ("Há 4 melancias voando num mar de suco de limão") ou a ordenação ("Esta é a 20ª melhor canção sobre melancias voadoras já cantada por um jacaré"). As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela [[Matemática elementar/Análise combinatória|análise combinatória]].
Os matemáticos usam <math>\mathbb{N}</math> para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é [[Matemática elementar/Infinito|infinito]] e [[Matemática elementar/Contável|contável]] por definição.
<math>\mathbb{N}</math> = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}
Se retirarmos o <math>0</math> desses conjunto, obtemos o subconjunto:
<math>\mathbb{N}^*</math> = {1,2,3,4,5,6,7,...}
== Operações em <math>\mathbb{N}</math> ==
São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a [[adição]] e a [[multiplicação]] de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.
Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, <math>10-11=-1</math>, e <math>-1</math> não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto <math>\mathbb{Z}</math>
== Critérios de divisibilidade ==
=== Divisibilidade por 2 ===
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.
=== Divisibilidade por 3 ===
Um número é divisível por 3 quando a soma dos [[w:valor absoluto|valores absolutos]] de seus [[w:algarismo|algarismo]]s for divisível por 3.
Exemplo:
* 360 (3+6+0=9) → é divisível.
=== Divisibilidade por 4 ===
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.
Exemplo:
* 4'''16''' (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.
=== Divisibilidade por 5 ===
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplo:
* 2.654.82'''0''' → é divisível.
=== Divisibilidade por 6 ===
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplo:
* 414 → divisível por 6, pois
** par → divisível por 2
** 4+1+4=9 → divisível por 3.
=== Divisibilidade por 7 ===
A divisibilidade por <math>7</math> também pode ser verificada da seguinte maneira:
Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, <math>45 - 6 = 39.</math> Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.
Outro exemplo: <math>784</math> → Separando <math>78</math> e <math>4,</math> teremos <math>78 - 8 = 70.</math> Como <math>70</math> é divisível por <math>7</math> o número <math>784</math> também é.
Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ''ABCD...'' é divisível por 7 quando o número ''B(C+2A)D...'' for múltiplo de 7. Isso porque ''98 = 100 - 2'' é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar ''100 A'' por ''2 A''. Exemplos: ''1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77'' (múltiplo de 7); ''3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56'' (múltiplo de 7); ''9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76'' (não é múltiplo de 7).
=== Divisibilidade por 8 ===
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.
Exemplo:
* 24'''512''' → é divisível.
=== Divisibilidade por 9 ===
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
* 927 (9+2+7=18) → é divisível.
=== Divisibilidade por 10 ===
Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo:
* 154.87'''0''' → é divisível
=== A divisibilidade por 11 ===
Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.
* Separe o último algarismo
*: 15 e 4
* Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
*: 15 - 4 = 11.
Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.
Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.
O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.
: '''Dica:''' Números que seguem a forma "<font color=green>ABBA</font>" são divisíveis por 11.
: Por exemplo: para <font color=red>1</font><font color=blue>22</font><font color=red>1</font>, temos A = <font color=red>1</font> e B = <font color=blue>2</font>.
Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F
: Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.
Dois exemplos com números grandes:
*''4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160'' → <math>168 \equiv 146 \pmod{11}</math>, portanto é divisível.
*''4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161'' → <math>171 \not\equiv 148 \pmod{11}</math>, portanto não é divisível.
=== Divisibilidade por <math>2^n</math> ===
Um número é divisível por <math>2^n</math> quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por <math>2^n.</math>
=== Divisibilidade por <math>3^n</math> ===
Um número é divisível por <math>3^n</math> quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por <math>3^n.</math>
== Números primos ==
'''Número primo''' é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.
=== Decomposição em fatores primos (fatoração) ===
O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).
'''Exemplos:'''
* <math>6 = 2 \times 3</math>
* <math>16 = 2^4\,\!</math>
* <math>20 = 2^2 \times 5</math>
== Máximo Divisor Comum (MDC) ==
O '''máximo divisor comum''' (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> (vulgarmente abreviada como <math>mdc(a,b)\,\!</math>) é o maior [[Matemática elementar/Conjuntos/Números inteiros|número inteiro]] encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, <math> mdc(16,8) = 8\,\!.</math> A definição abrange qualquer número de termos.
'''Exemplo:'''
* <math>mdc(a,b,c,d)\,\!.</math>
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir [[Matemática elementar/Equação|equações]] a outras equivalentes:
Seja <math>m\,\!</math> o máximo divisor comum entre <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> e também <math>a'\,\!</math> e <math>b'\,\!</math> o resultado da divisão de ambos por <math>m\,\!,</math> respectivamente.
Então, o seguinte se verifica:
: <math>a = b \Leftrightarrow ma = mb \Leftrightarrow a' = b'\,\!</math>
=== Cálculo ===
Pode-se calcular o MDC de duas formas:
* Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
* Fatoração disjunta
==== Fatoração disjunta ====
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.
;Exemplo
<math> mdc(24,40)\,\!</math>
24 | 2
12 | 2
6 | 2 x
3 |<u> 3 </u>
1 | <font color=red>'''2³ • 3'''</font>
40 | 2
20 | 2 x
10 | 2
5 |<u> 5 </u>
1 | <font color=red>'''2³ • 5'''</font>
Com efeito,
MDC = 2³ = 8
==== Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides) ====
Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.
Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:
<math>Q_1</math> <math>Q_2</math> <math>Q_{...}</math>
<u> A | B | R<sub>1</sub> | R<sub>2</sub> | R<sub>...</sub></u>
R<sub>1</sub> | R<sub>2</sub> | R<sub>...</sub> | 0
onde,
A = um dos números
B = o outro número
<math>Q_1</math> = quociente da divisão <math>\frac{A}{B}</math>
<math>R_1</math> = resto da divisão <math>\frac{A}{B}</math> (em seguida, ele torna-se o divisor de B)
E assim em diante.
O último resto (antes do 0) será o MDC.
;Exemplo
3 3
<u> 80 | 24 | 8 </u> <big>←</big> MDC (8)
8 | 0
== Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ==
O '''Mínimo Múltiplo Comum''' (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> (vulgarmente abreviada como <math>mmc(a,b)\,\!</math>) é o menor [[Matemática elementar/Conjuntos/Números inteiros|número inteiro]] encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, <math> mmc(6,8) = 24\,\!.</math>
=== Cálculo ===
Pode-se calcular o MMC de duas formas:
* Fatoração conjunta
* Fatoração disjunta
==== Fatoração conjunta ====
Faz-se a fatoração com todos os ''n'' termos, simultaneamente:
;Exemplo
<math> mmc(24,40)\,\!</math>
24, 40 | 2
12, 20 | 2
6, 10 | 2 x
3, 5 | 3
1, 5 |<u> 5 </u>
1, 1 | <font color=red>'''120'''</font>
==== Fatoração disjunta ====
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.
;Exemplo
<math> mmc(24,40)\,\!</math>
24 | 2
12 | 2
6 | 2 x
3 |<u> 3 </u>
1 | <font color=red>'''2³ • 3'''</font>
40 | 2
20 | 2 x
10 | 2
5 |<u> 5 </u>
1 | <font color=red>'''2³ • 5'''</font>
Com efeito,
2<sup>3</sup> • 3 • 5
8 • 3 • 5
120,
== Propriedade do MDC e do MMC ==
<math>MDC(a,b) \times MMC(a,b) = a \times b</math>
== Ver também ==
=== Wikilivros ===
Exercícios:
* [[Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais/Exercícios]]
Uma abordagem mais avançada:
* [[Álgebra abstrata/Números naturais]]
* [[Teoria de números]]
=== Wikipédia ===
* [[w:Critérios de divisibilidade|Critérios de divisibilidade]]
* [[w:Fatoração|Fatoração]]
* [[w:Número natural|Número natural]]
* [[w:Número primo|Número primo]]
* [[w:Máximo divisor comum|Máximo divisor comum]]
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