Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Conjuntos e Funções: diferenças entre revisões

Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Página substituída por '== Análise na reta == === Conjuntos e funções === * Imagem:6de8.svg /1-10/ 8/10 * Imagem:0de8.svg /11-20/ 0/10 * Imagem:4de8.svg /21-21/ 0/1'
Linha 1:
== Análise na reta ==
==1==
=== Conjuntos e funções ===
Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
* [[Imagem:6de8.svg]] [[/1-10/]] 8/10
* <math> A \subset X </math> e <math> B \subset X </math>
* [[Imagem:0de8.svg]] [[/11-20/]] 0/10
* Se <math> A \subset Y </math> e <math> B \subset Y </math> então <math> X \subset Y </math>
* [[Imagem:4de8.svg]] [[/21-21/]] 0/1
Prove que <math> X = A \cup B </math>
 
===Resolução:===
Vamos provar que <math> X \subset A \cup B </math>
* Pela prop 2 <math> A,B \subset A \cup B \Rightarrow X \subset A \cup B </math>.
 
Vamos provar que <math> A \cup B \subset X </math>
* Tome <math> a \in A \cup B \Rightarrow a \in A \; ou \; a \in B \Rightarrow a \in X </math> pela prop 1.
 
==2==
Enuncie e demonstre um resultado análogo ao anterior, caracterizando <math>A \cap B</math>:
Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
# <math> A \supset X </math> e <math> B \supset X </math>
# Se <math> A, B \supset Y </math> então <math> X \supset Y </math>
Prove que <math> X = A \cap B </math>.
 
===Resolução:===
Vamos provar que <math> X \supset A \cap B </math>
* Pela prop 2 <math> A,B \supset A \cap B \Rightarrow X \supset A \cap B </math>.
 
Vamos provar que <math> A \cap B \supset X </math>
* Tome <math> a \in X \Rightarrow a \in A \; e \; a \in B \mbox{ pela prop 1} \Rightarrow a \in A \cap B </math>.
 
==3==
===3a===
Sejam <math> A,B \subset E</math>. Prove que <math>A \cap B = \varnothing \Leftrightarrow A \subset E-B</math>.
==== Resolução ====
* Tome <math>a \in A, \mbox{ como } A \cap B = \varnothing \mbox{ e } A,B \subset E \Rightarrow a\in E \mbox{ e } a \not \in B \Rightarrow a \in E-B \Rightarrow A \subset E-B</math>.
* Tome <math>a \in A \mbox{ como } A \subset E-B \Rightarrow a \not \in B \Rightarrow A \cap B = \varnothing</math>.
 
===3b===
Sejam <math> A,B \subset E</math>. Prove que <math>A \cup B = E \Leftrightarrow E-A \subset B </math>
==== Resolução ====
*<math>a \in E-A \Rightarrow a \in E \mbox{ e } a \not \in A, \mbox{ como } E = A \cup B \Rightarrow a \in B \Rightarrow E-A \subset B</math>.
* Tome <math> a \in A \cup B \Rightarrow a \in A \mbox{ ou } a \in B, \mbox{ como } E-A \subset B(\mbox{ ou seja}, a\in E \mbox{ e } a \not \in A, \mbox{ logo } a \in B) \Rightarrow a \in E \Rightarrow A \cup B \subset E</math>.
* Tome <math> a \in A \mbox{ ou } a \not \in A \mbox{ como } E-A \subset B(\mbox{ ou seja}, a\in E \mbox{ e } a \not \in A, \mbox{ logo } a \in B) \Rightarrow a \in A \mbox{ ou } a \in B \Rightarrow a \in A \cup B \Rightarrow </math><math>\Rightarrow E \subset A \cup B </math>.
* Dos dois anteriores temos que <math>A \cup B = E</math>
 
==4==
Dados <math> A,B \subset E</math>, prove que <math>A \subset B \Leftrightarrow A \cap E-B = \varnothing</math>.
=== Resolução ===
<math>A \cap E-B = \{a \in A, a \not \in B \} = A - B, \mbox{ mas } A \subset B(\mbox{ ou seja}, a \in A \Rightarrow a \in B) \Rightarrow A \cap E-B = \varnothing</math>
 
==5==
Dê exemplos dos conjuntos A,B,C tais que <math>(A \cup B) \cap C \ne A \cup (B \cap C) </math>.
=== Resolução ===
Sejam <math>A = 2 \mathbb{N}, B = 4 \mathbb{N}, C = 8 \mathbb{N}</math>;
* <math>A \cup B = 2\mathbb{N} \cup 4\mathbb{N} = 2\mathbb{N} = A</math>; <math>A \cap C = 2\mathbb{N} \cap 8\mathbb{N} = 8\mathbb{N} = C</math>
* <math>B \cap C = 4\mathbb{N} \cap 8\mathbb{N} = 8\mathbb{N} = C</math>; <math>A \cup C = 2\mathbb{N} \cup 8\mathbb{N} = 2\mathbb{N} = A</math>
Mas <math>A \ne C</math>
 
==6==
Se <math>A,X \subset E </math> são tais que <math> A \cap X = \varnothing \mbox{ e } A \cup X = E</math>, prove que <math> X = E-A</math>.
=== Resolução ===
* Tome <math>a \in X \subset E \mbox{ como } A \cap X = \varnothing(a \in X\Rightarrow a \not \in A) \Rightarrow a \in E \mbox{ e } a \not \in A\Rightarrow a \in E-A \Rightarrow X \subset E-A</math>
* Tome <math>a \in E-A \Rightarrow a \in E \mbox{ e } a \not \in A, \mbox{ como } E = A \cup X \Rightarrow (a \in A \mbox{ ou } a \in X) \mbox{ e } a \not \in A \Rightarrow a \in X \Rightarrow E-A \subset X </math>
 
==7==
Se <math> A \subset B</math>, então, <math>B \cap (A \cup C) = (B \cap C) \cup A </math>, para todo conjunto C. Por outro lado, se existir C de modo que a igualdade acima seja satisfeita, então <math> A \subset B </math>
=== Resolução ===
* <math>a \in B \cap (A \cup C) \Rightarrow a \in B \mbox{ e } (a \in A \mbox{ ou } a \in C) \Rightarrow (a \in B \mbox{ e } a \in A) \mbox{ ou } (a \in B \mbox{ e } a \in C) \Rightarrow a \in B \cap C \mbox{ ou } a \in A\cap B \Rightarrow </math> <math>\Rightarrow a \in (B\cap C) \cup A, \mbox{ pois } A \subset B \Rightarrow A\cap B = A. \mbox{ Logo } B \cap (A \cup C) \subset (B \cap C) \cup A </math>.
* <math>a \in (B \cap C) \cup A \Rightarrow (a \in B \mbox{ e } a \in C) \mbox{ ou } a \in A, \mbox{ como } A \subset B, A \cap B = A \Rightarrow (a \in B \mbox{ e } a \in C) \mbox{ ou } (a \in B \mbox{ e } a \in A) \Rightarrow </math><math> \Rightarrow a \in B \mbox{ e } (a \in C \mbox{ ou } a \in A) \Rightarrow a \in B\cap (C \cup A). \mbox{ Logo } (B \cap C) \cup A \subset B \cap (A \cup C) </math>.
 
==8==
Prove que <math>A=B \Leftrightarrow (A \cap E-B)\cup(E-A \cap B) = \varnothing </math>.
=== Resolução ===
==9==
Prove que <math> (A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A \cap B)</math>.
=== Resolução ===
==10==
Seja <math> A \Delta B = (A-B)\cup(B-A)</math>. Prove que <math>A \Delta B = A \Delta C \Rightarrow B=C</math>. Examine a validez de um resultado análogo com <math>\cap, \cup \mbox{ ou } \times \mbox{ em vez de } \Delta</math>.
=== Resolução ===