Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais: diferenças entre revisões

 
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Se <math> {x_1 \over y_1}= {x_2 \over y_2} = ... = {x_n \over y_n} </math> num corpo K, prove que, dados <math> a_1,...,a_n \in K </math> tais que <math> a_1y_1+...+a_ny_n \ne 0, \mbox{ tem-se } {a_1x_1+...+a_nx_n \over a_1y_1+...+a_ny_n} = {x_1 \over y_1}</math>
 
=== Resolução ===
Por indução sobre n,
* vamos mostrar válido para n = 1: <math>{a_1x_1 \over a_1y_1} = {x_1 \over y_1}</math>
* Supor válido para n = k e mostrar válido para n=k+1:
** <math> {a_1x_1+...+a_kx_k \over a_1y_1+...+a_ky_k} = {x_1 \over y_1} \Rightarrow (a_1x_1+...+a_kx_k)y_1 = (a_1y_1+...+a_ky_k)x_1 </math>. Como <math> {x_1 \over y_1} = {x_{k+1} \over y_{k+1}} \Rightarrow x_1 y_{k+1} = y_1 x_{k+1}.</math> Logo <math> (a_1x_1+...+a_kx_k)y_1 + x_{k+1}y_1= (a_1y_1+...+a_ky_k)x_1 + y_{k+1}x_1 \Rightarrow</math>
 
<math> </math>
 
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