Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais: diferenças entre revisões

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== 1Análise na reta ==
=== Números Reais ===
Dados <math> a,b,c,d</math> num corpo K, sendo b e d diferentes de zero, prove:
* [[Imagem:3de8.svg]] [[/1-8/]]
* <math> {a \over b} + {c \over d} = {ad+bc \over bd}</math>
* [[Imagem:0de8.svg]] [[/9-16/]]
* <math> {a \over b} \cdot {c \over d} = {a \cdot c \over b \cdot d}</math>
* [[Imagem:0de8.svg]] [[/17-24/]]
 
* [[Imagem:0de8.svg]] [[/25-29/]]
=== Resolução ===
* <math> {a \over b} + {c \over d} = {a bd d^{-1} b^{-1} \over b} + {c bd d^{-1} b^{-1} \over d} = ad d^{-1} b^{-1} + cb d^{-1} b^{-1} = (ad+bc)(bd)^{-1} = {ad+bc \over bd}</math>
* <math> {a \over b} \cdot {c \over d} = {a bb^{-1} \over b} \cdot {c dd^{-1} \over d} = a b^{-1} \cdot c d^{-1} = ac b^{-1}d^{-1} = ac (db)^{-1} = ac (bd)^{-1} = {a \cdot c \over b \cdot d}</math>
 
<math> </math>
 
== 2 ==
Dado <math>a \ne 0</math> num corpo K, põe-se, por definição, <math> a^0 = 1 </math> e, se <math> n \in \mathbb{N}, a^{-n} = {1 \over a^n}, \mbox{ ou seja}, a^{-n}=(a^n)^{-1}. </math> Sejam quais forem <math> m, n \in \mathbb{Z} ,</math> prove :
* <math> a^m \cdot a^n = a^{m+n}. </math>
* <math> (a^m)^n = a^{mn} </math>
=== Resolução ===
* <math> a^m \cdot a^n = \underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{ m } \cdot \underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{n} = \underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{m+n} = a^{m+n}. </math>
* <math> (a^m)^n = (\underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{m} )^n = \underbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{m} \cdot \underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{m} \cdot ... \cdot \underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{m}}_{n} = \underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{\underbrace{m+m+...+m}_{n}} = \underbrace{ a \cdot a \cdot...\cdot a }_{mn} = a^{mn} </math>
 
== 3 ==
Se <math> {x_1 \over y_1}= {x_2 \over y_2} = ... = {x_n \over y_n} </math> num corpo K, prove que, dados <math> a_1,...,a_n \in K </math> tais que <math> a_1y_1+...+a_ny_n \ne 0, \mbox{ tem-se } {a_1x_1+...+a_nx_n \over a_1y_1+...+a_ny_n} = {x_1 \over y_1}</math>
 
=== Resolução ===
Por indução sobre n,
* vamos mostrar válido para n = 1: <math>{a_1x_1 \over a_1y_1} = {x_1 \over y_1}</math>
* Supor válido para n = k e mostrar válido para n=k+1:
** <math> {a_1x_1+...+a_kx_k \over a_1y_1+...+a_ky_k} = {x_1 \over y_1} \Rightarrow (a_1x_1+...+a_kx_k)y_1 = (a_1y_1+...+a_ky_k)x_1 </math>. Como <math> {x_1 \over y_1} = {x_{k+1} \over y_{k+1}} \Rightarrow x_1 y_{k+1} = y_1 x_{k+1}.</math> Logo <math> (a_1x_1+...+a_kx_k)y_1 + a_{k+1} x_{k+1}y_1= (a_1y_1+...+a_ky_k)x_1 + a_{k+1}y_{k+1}x_1 \Rightarrow </math> <math> \Rightarrow (a_1x_1+...+ a_kx_k + a_{k+1}x_{k+1})y_1= (a_1y_1+...+a_ky_k + a_{k+1}y_{k+1})x_1 \Rightarrow {a_1x_1+...+ a_kx_k + a_{k+1}x_{k+1} \over (a_1y_1+...+a_ky_k + a_{k+1}y_{k+1}}={x_1 \over y_1}</math>
 
<math> </math>
 
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edições