Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/9-16: diferenças entre revisões
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Seja a um elemento positivo de um corpo ordenado K. Definamos <math> f: \mathbb{Z} \rightarrow K \mbox{ pondo} f(n)=a^n. </math> Prove que f é crescente se a > 1, decrescente se 0< a < 1 e constante se a = 1.
=== não está pronto ===
* Tome <math> a>1, \mbox{ como } a^n>1>0 \Rightarrow a^n \cdot a > a^n \cdot 1 \Rightarrow a^{n+1}>a^n, \mbox{ i. e. }, f(n+1) > f(n), \forall n \in \mathbb{N}. </math> Portanto a função é crescente.
<math> </math>▼
** Vamos mostrar por indução que <math> a^n>1.</math> Para <math> n=1: a^1>1 \Rightarrow a > 1.</math> Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para n = t + 1: <math> a^t>1, \mbox{ como } a > 1 \Rightarrow a^t \cdot a > 1 \cdot a > 1 \Rightarrow a^{t+1}>a.</math>
* Tome <math> 0<a<1, \mbox{ como } 0<a^n<1 \Rightarrow 0<a^n \cdot a < a^n \cdot 1 \Rightarrow a^{n+1}<a^n, \mbox{ i. e. }, f(n+1) < f(n), \forall n \in \mathbb{N}. </math> Portanto a função é decrescente.
** Vamos mostrar por indução que <math> 0<a^n<1.</math> Para <math> n=1: 0<a^1<1 \Rightarrow 0< a < 1.</math> Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para <math> n = t + 1 \;</math>: <math> 0<a^t<1, \mbox{ como } 0<a < 1 \Rightarrow 0 < a^t \cdot a < 1 \cdot a < 1 \Rightarrow 0 < a^{t+1} < a . </math>
▲* <math> </math>
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